Himpunan $\{ 1,x\} $ sebagai Basis dari $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$, dan $P_{4}$

Himpunan $\{ 1,x\} $ merupakan basis dari ruang vektor $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$, dan $P_{4}$. Dalam matematika, basis adalah himpunan vektor yang dapat menghasilkan semua vektor dalam ruang vektor tertentu melalui kombinasi linear. Dalam hal ini, kita akan membahas bagaimana himpunan $\{ 1,x\} $ dapat berfungsi sebagai basis untuk ruang vektor $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$, dan $P_{4}$. Pertama, mari kita lihat ruang vektor $P_{1}$. Ruang vektor $P_{1}$ terdiri dari semua polinomial dengan derajat maksimum 1. Dalam hal ini, polinomial dapat ditulis sebagai $a + bx$, di mana $a$ dan $b$ adalah konstanta. Untuk membuktikan bahwa $\{ 1,x\} $ adalah basis dari $P_{1}$, kita perlu menunjukkan bahwa setiap polinomial dalam $P_{1}$ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari $\{ 1,x\} $. Misalkan kita memiliki polinomial $p(x) = c_{1} + c_{2}x$, di mana $c_{1}$ dan $c_{2}$ adalah konstanta. Kita dapat mengekspresikan $p(x)$ sebagai $p(x) = c_{1}(1) + c_{2}(x)$. Dalam hal ini, kita dapat melihat bahwa $p(x)$ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari $\{ 1,x\} $. Oleh karena itu, $\{ 1,x\} $ adalah basis dari $P_{1}$. Selanjutnya, mari kita lihat ruang vektor $P_{2}$. Ruang vektor $P_{2}$ terdiri dari semua polinomial dengan derajat maksimum 2. Dalam hal ini, polinomial dapat ditulis sebagai $a + bx + cx^{2}$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta. Untuk membuktikan bahwa $\{ 1,x\} $ adalah basis dari $P_{2}$, kita perlu menunjukkan bahwa setiap polinomial dalam $P_{2}$ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari $\{ 1,x\} $. Misalkan kita memiliki polinomial $p(x) = c_{1} + c_{2}x + c_{3}x^{2}$, di mana $c_{1}$, $c_{2}$, dan $c_{3}$ adalah konstanta. Kita dapat mengekspresikan $p(x)$ sebagai $p(x) = c_{1}(1) + c_{2}(x) + c_{3}(x^{2})$. Dalam hal ini, kita dapat melihat bahwa $p(x)$ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari $\{ 1,x\} $. Oleh karena itu, $\{ 1,x\} $ adalah basis dari $P_{2}$. Selanjutnya, mari kita lihat ruang vektor $P_{3}$. Ruang vektor $P_{3}$ terdiri dari semua polinomial dengan derajat maksimum 3. Dalam hal ini, polinomial dapat ditulis sebagai $a + bx + cx^{2} + dx^{3}$, di mana $a$, $b$, $c$, dan $d$ adalah konstanta. Untuk membuktikan bahwa $\{ 1,x\} $ adalah basis dari $P_{3}$, kita perlu menunjukkan bahwa setiap polinomial dalam $P_{3}$ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari $\{ 1,x\} $. Misalkan kita memiliki polinomial $p(x) = c_{1} + c_{2}x + c_{3}x^{2} + c_{4}x^{3}$, di mana $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$, dan $c_{4}$ adalah konstanta. Kita dapat mengekspresikan $p(x)$ sebagai $p(x) = c_{1}(1) + c_{2}(x) + c_{