Menyelesaikan Persamaan dan Menghitung Nilai \( n \sqrt{n} \)

Dalam artikel ini, kita akan membahas cara menyelesaikan persamaan \( { }_{9} P_{3}=7 n(n-1) \) dan menghitung nilai \( n \sqrt{n} \). Persamaan ini melibatkan permutasi dan kombinasi, serta operasi akar kuadrat. Mari kita lihat bagaimana kita dapat menyelesaikan persamaan ini dan mencari nilai dari \( n \sqrt{n} \). Pertama, mari kita tinjau persamaan \( { }_{9} P_{3}=7 n(n-1) \). Persamaan ini menggambarkan permutasi dari 9 objek yang diambil 3 sekaligus. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita perlu mengerti konsep permutasi dan mengaplikasikannya. Permutasi \( { }_{n} P_{r} \) adalah cara mengatur objek-objek yang berbeda dalam urutan tertentu. Rumus untuk permutasi adalah \( { }_{n} P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!} \), di mana \( n \) adalah jumlah objek yang tersedia dan \( r \) adalah jumlah objek yang diambil. Dalam persamaan \( { }_{9} P_{3}=7 n(n-1) \), kita memiliki \( n=9 \) dan \( r=3 \). Mari kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus permutasi: \( { }_{9} P_{3} = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!} \) Sekarang, kita perlu mencari nilai dari \( n \sqrt{n} \). Untuk melakukan ini, kita perlu menyelesaikan persamaan \( { }_{9} P_{3}=7 n(n-1) \) terlebih dahulu. Dengan membagi kedua sisi persamaan dengan \( 7n(n-1) \), kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi: \( \frac{{ }_{9} P_{3}}{7n(n-1)} = 1 \) Sekarang, kita dapat menggantikan nilai \( { }_{9} P_{3} \) dengan \( \frac{9!}{6!} \) yang telah kita hitung sebelumnya: \( \frac{\frac{9!}{6!}}{7n(n-1)} = 1 \) Kita dapat menyederhanakan persamaan ini lebih lanjut dengan membagi kedua sisi dengan \( \frac{9!}{6!} \): \( \frac{1}{7n(n-1)} = 1 \) Sekarang, kita dapat menghilangkan pecahan dengan mengalikan kedua sisi dengan \( 7n(n-1) \): \( 7n(n-1) = 1 \) Kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi persamaan kuadrat: \( 7n^2 - 7n = 1 \) Dengan mengatur persamaan ini menjadi bentuk standar \( ax^2 + bx + c = 0 \), kita mendapatkan: \( 7n^2 - 7n - 1 = 0 \) Sekarang, kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai \( n \): \( n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) Dalam persamaan kita, \( a = 7 \), \( b = -7 \), dan \( c = -1 \). Mari kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus kuadrat: \( n = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(7)(-1)}}{2(7)} \) \( n = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 28}}{14} \) \( n = \frac{7 \pm \sqrt{77}}{14} \) Kita dapat menyederhanakan akar kuadrat \( \sqrt{77} \) menjadi bentuk desimal atau pecahan jika diperlukan. Sekarang, kita dapat menghitung nilai dari \( n \sqrt{n} \) dengan menggantikan nilai \( n \) yang kita temukan ke dalam rumus: \( n \sqrt{n} = \left(\frac{7 \pm \sqrt{77}}{14}\right) \sqrt{\frac{7 \pm \sqrt{77}}{14}} \) Kita dapat menyederhanakan ekspresi ini lebih lanjut jika diperlukan. Dalam artikel ini, kita telah membahas cara menyelesaikan persamaan \( { }_{9} P_{3}=7 n(n-1) \) dan menghitung nilai dari \( n \sqrt{n} \). Kita menggunakan konsep permutasi, rumus kuadrat, dan operasi akar kuadrat untuk menyelesaikan persamaan ini.