Mengeliminasi Variabel dalam Sistem Persamaan Linear

Dalam matematika, sistem persamaan linear adalah kumpulan persamaan linear yang memiliki variabel yang sama. Salah satu metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah metode eliminasi. Dalam artikel ini, kita akan membahas metode eliminasi untuk mengeliminasi variabel dalam sistem persamaan linear. Metode eliminasi melibatkan langkah-langkah berikut: 1. Menyusun sistem persamaan linear dalam bentuk matriks augmented. Misalnya, kita memiliki sistem persamaan linear berikut: \[ \begin{array}{l} 2x + y = 4 \\ x - y = -1 \end{array} \] Kita dapat menyusun sistem persamaan ini dalam bentuk matriks augmented: \[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix} \] 2. Menggunakan operasi baris elementer untuk mengeliminasi variabel. Dalam contoh ini, kita ingin mengeliminasi variabel y. Untuk melakukannya, kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan -1 dan menambahkannya ke persamaan kedua: \[ \begin{array}{l} -2(2x + y) = -2(4) \\ x - y = -1 \end{array} \] Setelah melakukan operasi ini, kita mendapatkan sistem persamaan baru: \[ \begin{array}{l} -4x - 2y = -8 \\ x - y = -1 \end{array} \] 3. Menggunakan operasi baris elementer lainnya untuk mengeliminasi variabel yang tersisa. Dalam contoh ini, kita ingin mengeliminasi variabel x. Untuk melakukannya, kita dapat mengalikan persamaan kedua dengan 4 dan menambahkannya ke persamaan pertama: \[ \begin{array}{l} -4x - 2y = -8 \\ 4(x - y) = 4(-1) \end{array} \] Setelah melakukan operasi ini, kita mendapatkan sistem persamaan baru: \[ \begin{array}{l} -4x - 2y = -8 \\ 4x - 4y = -4 \end{array} \] 4. Menyelesaikan sistem persamaan yang telah dieliminasi. Dalam contoh ini, kita dapat menggabungkan kedua persamaan menjadi satu persamaan: \[ -4x - 2y + 4x - 4y = -8 - 4 \] Setelah menyederhanakan, kita mendapatkan: \[ -6y = -12 \] Dengan membagi kedua sisi persamaan dengan -6, kita dapat menentukan nilai y: \[ y = 2 \] Setelah mengetahui nilai y, kita dapat menggantikan nilai y ke salah satu persamaan asli untuk menentukan nilai x. Misalnya, kita dapat menggunakan persamaan pertama: \[ 2x + 2 = 4 \] Dengan menyederhanakan, kita mendapatkan: \[ 2x = 2 \] Dengan membagi kedua sisi persamaan dengan 2, kita dapat menentukan nilai x: \[ x = 1 \] Jadi, solusi dari sistem persamaan linear ini adalah x = 1 dan y = 2. Dalam artikel ini, kita telah membahas metode eliminasi untuk mengeliminasi variabel dalam sistem persamaan linear. Metode ini sangat berguna dalam menyelesaikan berbagai masalah matematika dan dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.