Menyelesaikan Persamaan dan Barisan Geometri

Dalam artikel ini, kita akan membahas tiga masalah matematika yang melibatkan persamaan dan barisan geometri. Pertama, kita akan mencari nilai \( n \) dalam persamaan \( 2+2^{2}+2^{1}+\ldots+2^{n}=510 \). Selanjutnya, kita akan mencari nilai \( n \) dalam persamaan \( 4+4^{2}+4^{3}+\ldots+4^{n}=1.364 \). Terakhir, kita akan menentukan jumlah 10 suku pertama dalam barisan geometri dengan suku pertama 4 dan rasio \( \frac{1}{2} \), serta mencari suku ke-10 dalam barisan tersebut. 1. Menyelesaikan Persamaan \( 2+2^{2}+2^{1}+\ldots+2^{n}=510 \) Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menggunakan rumus penjumlahan suku-suku geometri. Rumus tersebut adalah \( S_n = a \times \frac{1 - r^n}{1 - r} \), di mana \( S_n \) adalah jumlah \( n \) suku pertama, \( a \) adalah suku pertama, \( r \) adalah rasio, dan \( n \) adalah jumlah suku yang ingin kita cari. Dalam persamaan ini, suku pertama adalah 2 dan rasio adalah 2. Kita ingin mencari nilai \( n \) sehingga jumlah suku pertama hingga suku ke-\( n \) adalah 510. Dengan menggunakan rumus penjumlahan suku-suku geometri, kita dapat menulis persamaan berikut: \( 2 \times \frac{1 - 2^n}{1 - 2} = 510 \) Sekarang, kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk mencari nilai \( n \). 2. Menyelesaikan Persamaan \( 4+4^{2}+4^{3}+\ldots+4^{n}=1.364 \) Persamaan ini mirip dengan persamaan sebelumnya, tetapi dengan suku pertama 4 dan rasio 4. Kita ingin mencari nilai \( n \) sehingga jumlah suku pertama hingga suku ke-\( n \) adalah 1.364. Dengan menggunakan rumus penjumlahan suku-suku geometri, kita dapat menulis persamaan berikut: \( 4 \times \frac{1 - 4^n}{1 - 4} = 1.364 \) Sekarang, kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk mencari nilai \( n \). 3. Menentukan Jumlah 10 Suku Pertama dalam Barisan Geometri Dalam barisan geometri dengan suku pertama 4 dan rasio \( \frac{1}{2} \), kita ingin mencari jumlah 10 suku pertama. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan rumus penjumlahan suku-suku geometri. Rumus tersebut adalah \( S_n = a \times \frac{1 - r^n}{1 - r} \), di mana \( S_n \) adalah jumlah \( n \) suku pertama, \( a \) adalah suku pertama, \( r \) adalah rasio, dan \( n \) adalah jumlah suku yang ingin kita cari. Dalam kasus ini, suku pertama adalah 4 dan rasio adalah \( \frac{1}{2} \). Kita ingin mencari jumlah 10 suku pertama. Dengan menggunakan rumus penjumlahan suku-suku geometri, kita dapat menulis persamaan berikut: \( 4 \times \frac{1 - (\frac{1}{2})^{10}}{1 - \frac{1}{2}} \) Sekarang, kita dapat menghitung nilai ini untuk menentukan jumlah 10 suku pertama dalam barisan geometri. Selain itu, kita juga ingin mencari suku ke-10 dalam barisan geometri ini. Untuk mencari suku ke-10, kita dapat menggunakan rumus suku ke-n dalam barisan geometri. Rumus tersebut adalah \( a_n = a \times r^{n-1} \), di mana \( a_n \) adalah suku ke-n, \( a \) adalah suku pertama, \( r \) adalah rasio, dan \( n \) adalah nomor suku yang ingin kita cari. Dalam kasus ini, suku pertama adalah 4, rasio adalah \( \frac{1}{2} \), dan kita ingin mencari suku ke-10. Dengan menggunakan rumus suku ke-n dalam barisan geometri, kita dapat menulis persamaan berikut: \( a_{10} = 4 \times (\frac{1}{2})^{10-1} \) Sekarang, kita dapat menghitung nilai ini untuk menentukan suku ke-10 dalam barisan geometri. Dengan demikian, dalam artikel ini kita telah membahas tiga masalah matematika yang melibatkan persamaan dan barisan geometri. Kita telah menyelesaikan persamaan \( 2+2^{2}+2^{1}+\ldots+2^{n}=510 \) dan \( 4+4^{2}+4^{3}+\ldots+4^{n}=1.364 \), serta menentukan jumlah 10 suku pertama dalam barisan geometri dengan suku pertama 4 dan rasio \( \frac{1}{2} \), serta mencari suku ke-10 dalam barisan tersebut.