Analisis Fungsi Piecewise \(f(x)\) dan Kontinuitasnya di \(x=0\) dan \(x=2\)

Fungsi piecewise adalah fungsi matematika yang terdiri dari beberapa bagian atau aturan yang berbeda untuk setiap interval tertentu. Dalam kasus ini, kita akan menganalisis fungsi piecewise \(f(x)\) yang diberikan: \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1-x & \text { jika } x<0 \\ 1+x & \text { jika } 0 \leq x \leq 2 \\ 2-x & \text { jika } x>2 \end{array}\right. \] Pertama, mari kita lihat bagian pertama fungsi \(f(x)\) di interval \(x<0\). Dalam interval ini, fungsi \(f(x)\) didefinisikan sebagai \(1-x\). Ini berarti bahwa untuk setiap nilai \(x\) yang kurang dari 0, nilai fungsi \(f(x)\) akan diberikan oleh hasil pengurangan 1 dengan \(x\). Misalnya, jika kita mengambil \(x=-1\), maka \(f(-1)=1-(-1)=2\). Dengan demikian, kita dapat melihat bahwa fungsi \(f(x)\) adalah fungsi linier dengan gradien negatif di interval ini. Selanjutnya, kita akan melihat bagian kedua fungsi \(f(x)\) di interval \(0 \leq x \leq 2\). Dalam interval ini, fungsi \(f(x)\) didefinisikan sebagai \(1+x\). Ini berarti bahwa untuk setiap nilai \(x\) yang berada di antara 0 dan 2, nilai fungsi \(f(x)\) akan diberikan oleh hasil penjumlahan 1 dengan \(x\). Misalnya, jika kita mengambil \(x=1\), maka \(f(1)=1+1=2\). Dalam interval ini, fungsi \(f(x)\) adalah fungsi linier dengan gradien positif. Terakhir, kita akan melihat bagian ketiga fungsi \(f(x)\) di interval \(x>2\). Dalam interval ini, fungsi \(f(x)\) didefinisikan sebagai \(2-x\). Ini berarti bahwa untuk setiap nilai \(x\) yang lebih besar dari 2, nilai fungsi \(f(x)\) akan diberikan oleh hasil pengurangan 2 dengan \(x\). Misalnya, jika kita mengambil \(x=3\), maka \(f(3)=2-3=-1\). Dalam interval ini, fungsi \(f(x)\) adalah fungsi linier dengan gradien negatif. Sekarang, mari kita lihat kontinuitas fungsi \(f(x)\) di \(x=0\) dan \(x=2\). Untuk memeriksa kontinuitas, kita perlu memastikan bahwa nilai fungsi \(f(x)\) di kedua titik ini sama dengan nilai limitnya saat \(x\) mendekati titik tersebut dari kedua sisi. Pertama, mari kita periksa kontinuitas di \(x=0\). Dalam interval \(0 \leq x \leq 2\), fungsi \(f(x)\) didefinisikan sebagai \(1+x\). Jadi, saat \(x\) mendekati 0 dari sisi kanan, nilai limit fungsi \(f(x)\) adalah \(1+0=1\). Namun, saat \(x\) mendekati 0 dari sisi kiri, fungsi \(f(x)\) didefinisikan sebagai \(1-x\). Jadi, saat \(x\) mendekati 0 dari sisi kiri, nilai limit fungsi \(f(x)\) adalah \(1-0=1\). Karena nilai limit dari kedua sisi adalah sama, fungsi \(f(x)\) kontinu di \(x=0\). Selanjutnya, mari kita periksa kontinuitas di \(x=2\). Dalam interval \(0 \leq x \leq 2\), fungsi \(f(x)\) didefinisikan sebagai \(1+x\). Jadi, saat \(x\) mendekati 2 dari sisi kiri, nilai limit fungsi \(f(x)\) adalah \(1+2=3\). Namun, saat \(x\) mendekati 2 dari sisi kanan, fungsi \(f(x)\) didefinisikan sebagai \(2-x\). Jadi, saat \(x\) mendekati 2 dari sisi kanan, nilai limit fungsi \(f(x)\) adalah \(2-2=0\). Karena nilai limit dari kedua sisi tidak sama, fungsi \(f(x)\) tidak kontinu di \(x=2\). Dalam kesimpulan, fungsi piecewise \(f(x)\) terdiri dari tiga bagian dengan aturan yang berbeda untuk setiap interval. Fungsi ini kontinu di \(x=0\) tetapi tidak kontinu di \(x=2\).