Mencari Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapi Bentuk Kuadrat Sempurn

Dalam matematika, persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki bentuk \(ax^2 + bx + c = 0\), di mana \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah konstanta dan \(x\) adalah variabel. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat adalah dengan melengkapi bentuk kuadrat sempurna. Untuk mengilustrasikan metode ini, kita akan mencari akar-akar dari persamaan \(x^2 - 6x - 7 = 0\). Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memastikan bahwa koefisien \(a\) pada persamaan kuadrat adalah 1. Dalam kasus ini, koefisien \(a\) sudah 1, sehingga kita dapat melanjutkan ke langkah berikutnya. Langkah kedua adalah mengelompokkan suku-suku yang mengandung variabel \(x\) dan mengisolasi konstanta \(c\). Dalam persamaan ini, kita dapat mengelompokkan suku \(x^2\) dan \(-6x\) untuk membentuk bentuk kuadrat sempurna. Dengan melakukan hal ini, kita akan mendapatkan persamaan \(x^2 - 6x = 7\). Langkah ketiga adalah menambahkan kuadrat dari setengah koefisien \(b\) ke kedua sisi persamaan. Dalam kasus ini, setengah dari koefisien \(b\) adalah \(-3\), sehingga kita harus menambahkan \((-3)^2 = 9\) ke kedua sisi persamaan. Dengan melakukan hal ini, kita akan mendapatkan persamaan \(x^2 - 6x + 9 = 7 + 9\), yang dapat disederhanakan menjadi \(x^2 - 6x + 9 = 16\). Langkah terakhir adalah mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan mengambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan. Dalam kasus ini, akar kuadrat dari \(x^2 - 6x + 9\) adalah \(x - 3\), dan akar kuadrat dari 16 adalah 4. Dengan melakukan hal ini, kita akan mendapatkan persamaan \(x - 3 = \pm 4\). Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita perlu memecahnya menjadi dua persamaan terpisah. Pertama, kita akan mencari akar ketika \(x - 3 = 4\). Dalam kasus ini, kita dapat menambahkan 3 ke kedua sisi persamaan untuk mendapatkan \(x = 7\). Akar pertama persamaan kuadrat adalah 7. Kedua, kita akan mencari akar ketika \(x - 3 = -4\). Dalam kasus ini, kita juga dapat menambahkan 3 ke kedua sisi persamaan untuk mendapatkan \(x = -1\). Akar kedua persamaan kuadrat adalah -1. Jadi, akar-akar dari persamaan \(x^2 - 6x - 7 = 0\) adalah 7 dan -1.