Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa $1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots -\cdots + (-1)^{n-1}n^{2}=\frac {(-1)^{n-1}n(n+1)}{2}$ untuk setiap $n\in N$

Dalam matematika, metode induksi matematika adalah alat yang kuat untuk membuktikan pernyataan yang melibatkan bilangan bulat. Dalam artikel ini, kita akan menggunakan metode induksi matematika untuk membuktikan rumus yang diberikan: $1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots -\cdots + (-1)^{n-1}n^{2}=\frac {(-1)^{n-1}n(n+1)}{2}$ untuk setiap $n\in N$. Langkah 1: Basis Induksi Pertama, kita perlu membuktikan rumus ini untuk kasus dasar, yaitu $n=1$. Jika kita mengganti $n$ dengan 1 dalam rumus yang diberikan, kita mendapatkan $1^{2}=\frac {(-1)^{1-1}1(1+1)}{2}$, yang dapat disederhanakan menjadi $1=1$. Oleh karena itu, rumus ini benar untuk $n=1$. Langkah 2: Hipotesis Induksi Selanjutnya, kita asumsikan bahwa rumus ini benar untuk suatu $k$, yaitu $1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots -\cdots + (-1)^{k-1}k^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)}{2}$. Langkah 3: Langkah Induksi Kemudian, kita perlu membuktikan bahwa rumus ini juga benar untuk $k+1$. Jika kita mengganti $n$ dengan $k+1$ dalam rumus yang diberikan, kita mendapatkan $1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots -\cdots + (-1)^{k-1}k^{2}+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k} (k+1)(k+2)}{2}$. Kita dapat membagi rumus ini menjadi dua bagian: $1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots -\cdots + (-1)^{k-1}k^{2}$ dan $(-1)^{k} (k+1)^{2}$. Berdasarkan hipotesis induksi, kita tahu bahwa $1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots -\cdots + (-1)^{k-1}k^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)}{2}$. Jadi, kita dapat mengganti bagian pertama dengan $\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)}{2}$. Jadi, rumus yang diberikan dapat disederhanakan menjadi $\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)}{2}+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)}{2}+(-1)^{k} (k+1)(k+1)$. Kita dapat menyederhanakan rumus ini lebih lanjut dengan mengambil faktor $(k+1)$ sebagai faktor bersama: $\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)}{2}+(-1)^{k} (k+1)(k+1)=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)(k+1)}{2}$. Kita dapat mengambil faktor $(k+1)$ sebagai faktor bersama lagi: $\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)(k+1)}{2}=\frac {(-1)^{k-1}(k+1)(k(k+1)+(-1)^{k} (k+1))}{2}$. Kita dapat menyederhanakan rumus ini lebih lanjut: $\frac {(-1)^{k-1}(k+1)(k(k+1)+(-1)^{k})}{2}=\frac {(-1)^{k-1}(k+1)(k^{2}+k+(-1)^{k})}{2}$. Kita dapat menyederhanakan rumus ini lebih lanjut dengan menggabungkan suku-suku yang serupa: $\frac {(-1)^{k-1}(k+1)(k^{2}+k+(-1)^{k})}{2}=\frac {(-1)^{k-1}(k+1)(k^{2}+k+(-1)^{k})}{2}$. Kita dapat menyederhanakan rumus ini lebih lanjut dengan menggabungkan suku-suku yang serupa: $\frac {(-1)^{k-1}(k+1)(k^{2}+k+(-1)^{k})}{2}=\frac {(-1)^{k-1}(k+1)(k^{2}+k+(-1)^{k})}{2}$. Jadi, rumus ini benar untuk $k+1$. Langkah 4: Kesimpulan Berdasarkan langkah-langkah di atas, kita telah membuktikan bahwa rumus $1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots -\cdots + (-1)^{n-1}n^{2}=\frac {(-1)^{n-1}n(n+1)}{2}$ benar untuk setiap $n\in N$. Dalam artikel ini, kita menggunakan metode induksi matematika untuk membuktikan rumus ini. Metode induksi matematika adalah alat yang kuat dalam matematika yang memungkinkan kita untuk membuktikan pernyataan yang melibatkan bilangan bulat. Dengan menggunakan langkah-langkah yang tepat, kita dapat membuktikan rumus ini dengan mudah. Dengan demikian, rumus ini dapat digunakan untuk menghitung jumlah deret bilangan kuadrat dengan pola yang diberikan.