Mencari Nilai \(a\) dalam Persamaan Fungsi Invers

Dalam matematika, fungsi invers adalah fungsi yang membalikkan operasi fungsi asli. Dalam artikel ini, kita akan mencari nilai \(a\) dalam persamaan fungsi invers yang diberikan. Persamaan yang diberikan adalah \(f\left(\frac{1}{x+1}\right)=\frac{x+3}{x+1}\) dan kita ingin mencari nilai \(a-3\) ketika \(f^{-1}(a+1)=2\). Untuk mencari nilai \(a-3\), pertama-tama kita perlu menemukan fungsi invers dari fungsi \(f\left(\frac{1}{x+1}\right)\). Fungsi invers dari \(f\) akan diberikan oleh \(f^{-1}(x)\). Dalam persamaan yang diberikan, kita ingin mencari nilai \(a+1\) ketika \(f^{-1}(a+1)=2\). Langkah pertama adalah menemukan fungsi invers dari \(f\left(\frac{1}{x+1}\right)\). Untuk melakukan ini, kita dapat menukar \(x\) dengan \(y\) dalam persamaan dan mencari \(y\). Jadi, persamaan menjadi \(\frac{1}{y+1}=\frac{x+3}{x+1}\). Selanjutnya, kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk \(y\). Dengan melakukan langkah-langkah aljabar yang tepat, kita dapat mencapai persamaan \(y=\frac{x+1}{x+3}\). Jadi, fungsi invers dari \(f\left(\frac{1}{x+1}\right)\) adalah \(f^{-1}(x)=\frac{x+1}{x+3}\). Sekarang, kita ingin mencari nilai \(a+1\) ketika \(f^{-1}(a+1)=2\). Untuk melakukan ini, kita dapat mengganti \(x\) dengan \(a+1\) dalam persamaan fungsi invers dan mencari nilai \(a+1\) yang memenuhi persamaan \(f^{-1}(a+1)=2\). Dengan mengganti \(x\) dengan \(a+1\) dalam fungsi invers, persamaan menjadi \(\frac{a+1+1}{a+1+3}=2\). Dengan menyederhanakan persamaan ini, kita dapat mencapai persamaan \(a+2=2(a+4)\). Selanjutnya, kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk \(a\). Dengan melakukan langkah-langkah aljabar yang tepat, kita dapat mencapai persamaan \(a+2=2a+8\). Dengan memindahkan semua suku \(a\) ke satu sisi persamaan, kita dapat mencapai persamaan \(a-2a=8-2\). Dengan menyederhanakan persamaan ini, kita dapat mencapai persamaan \(-a=6\). Terakhir, kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk \(a\) dengan mengalikan kedua sisi persamaan dengan -1. Dengan melakukan ini, kita dapat mencapai persamaan \(a=-6\). Jadi, nilai \(a-3\) ketika \(f^{-1}(a+1)=2\) adalah -6-3, yang sama dengan -9.