Menentukan Nilai m dalam Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat $2x^{2}-6x+2m-1=0$ memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Jika diketahui bahwa $\alpha = 2\beta$, maka kita perlu menentukan nilai m dalam persamaan ini. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan beberapa langkah matematika. Pertama, kita akan menggunakan rumus diskriminan untuk menentukan apakah persamaan kuadrat ini memiliki akar-akar nyata atau imajiner. Diskriminan d dalam persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ diberikan oleh rumus $d = b^2-4ac$. Jika diskriminan positif, maka persamaan memiliki dua akar nyata, jika diskriminan nol, maka persamaan memiliki satu akar ganda, dan jika diskriminan negatif, maka persamaan memiliki dua akar imajiner. Dalam persamaan kuadrat kita, $a=2$, $b=-6$, dan $c=2m-1$. Mari kita hitung diskriminannya: $d = (-6)^2 - 4(2)(2m-1)$ $d = 36 - 16(2m-1)$ $d = 36 - 32m + 16$ $d = -32m + 52$ Sekarang kita perlu menentukan nilai m agar diskriminan positif, sehingga persamaan memiliki dua akar nyata. Karena kita ingin menemukan nilai m yang memenuhi persyaratan $\alpha = 2\beta$, kita juga perlu mempertimbangkan hubungan antara akar-akar persamaan. Dalam persamaan kuadrat umum $ax^2+bx+c=0$, akar-akarnya diberikan oleh rumus $\alpha = \frac{-b+\sqrt{d}}{2a}$ dan $\beta = \frac{-b-\sqrt{d}}{2a}$. Jika $\alpha = 2\beta$, maka kita dapat menulis persamaan berikut: $\frac{-b+\sqrt{d}}{2a} = 2\left(\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}\right)$ Mari kita substitusikan nilai-nilai dari persamaan kita: $\frac{-(-6)+\sqrt{-32m+52}}{2(2)} = 2\left(\frac{-(-6)-\sqrt{-32m+52}}{2(2)}\right)$ Sekarang kita dapat menyederhanakan persamaan ini untuk mencari nilai m yang memenuhi persyaratan. Setelah kita menyelesaikan persamaan ini, kita akan mendapatkan nilai m yang sesuai dengan persamaan kuadrat awal. Dengan menggunakan langkah-langkah matematika yang tepat, kita dapat menentukan nilai m dalam persamaan kuadrat $2x^{2}-6x+2m-1=0$ dengan akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, serta persyaratan $\alpha = 2\beta$.