Metode Deret Taylor untuk Menentukan Nilai y(0.50) dari Persamaan Diferensial

Metode deret Taylor adalah salah satu metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Dalam artikel ini, kita akan menggunakan metode deret Taylor untuk menentukan nilai y(0.50) dari persamaan diferensial $\frac {dy}{dx}=\frac {1}{2}x-\frac {1}{2}y$ dengan kondisi awal y(0) = 1. Metode deret Taylor adalah metode yang sangat berguna dalam menyelesaikan persamaan diferensial karena dapat memberikan perkiraan yang akurat untuk nilai-nilai yang tidak dapat dihitung secara eksak.

Langkah pertama dalam menggunakan metode deret Taylor adalah menentukan deret Taylor dari fungsi yang diberikan. Deret Taylor dari fungsi f(x) adalah:

$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$

Dalam kasus ini, fungsi yang diberikan adalah $\frac {dy}{dx}=\frac {1}{2}x-\frac {1}{2}y$. Kita akan menggunakan titik a = 0 dan mencari deret Taylor dari fungsi ini.

Langkah kedua adalah menentukan suku-suku deret Taylor yang diperlukan. Dalam kasus ini, kita akan menggunakan suku-suku pertama dan kedua dari deret Taylor. Suku pertama adalah f(0) = 1, dan suku kedua adalah f'(0) = $\frac {1}{2}$.

Langkah ketiga adalah menggantikan suku-suku deret Taylor yang telah ditentukan ke dalam rumus deret Taylor. Dalam kasus ini, rumus deret Taylor menjadi:

$f(x) = 1 + \frac {1}{2}(x-0) + \frac {f''(0)}{2!}(x-0)^2$

Langkah keempat adalah menggantikan nilai x dengan nilai yang diberikan, yaitu x = 0.50. Dalam kasus ini, rumus deret Taylor menjadi:

$f(0.50) = 1 + \frac {1}{2}(0.50-0) + \frac {f''(0)}{2!}(0.50-0)^2$

Langkah kelima adalah menyelesaikan rumus deret Taylor untuk mendapatkan nilai y(0.50). Dalam kasus ini, kita perlu menentukan nilai f''(0). Dengan menggantikan persamaan diferensial $\frac {dy}{dx}=\frac {1}{2}x-\frac {1}{2}y$ ke dalam rumus f''(0), kita dapat menentukan nilai f''(0) = $\frac {1}{2}$. Dengan menggantikan nilai f''(0) ke dalam rumus deret Taylor, kita dapat menyelesaikan rumus dan mendapatkan nilai y(0.50).

Setelah melakukan perhitungan, kita dapat menentukan bahwa nilai y(0.50) adalah 0.625.

Dalam artikel ini, kita telah menggunakan metode deret Taylor untuk menentukan nilai y(0.50) dari persamaan diferensial $\frac {dy}{dx}=\frac {1}{2}x-\frac {1}{2}y$ dengan kondisi awal y(0) = 1. Metode deret Taylor adalah metode yang sangat berguna dalam menyelesaikan persamaan diferensial karena dapat memberikan perkiraan yang akurat untuk nilai-nilai yang tidak dapat dihitung secara eksak. Dengan menggunakan metode deret Taylor, kita dapat memperoleh nilai y(0.50) sebesar 0.625.