Mengapa \( \tan \alpha \) adalah \( -\sqrt{2} \) jika \( \operatorname{cosec} \alpha = -\sqrt{2} \) dengan \( 180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ} \)

Dalam matematika, fungsi trigonometri adalah alat penting untuk mempelajari hubungan antara sudut dan panjang sisi dalam segitiga. Salah satu fungsi trigonometri yang sering digunakan adalah fungsi tangen (\( \tan \)). Dalam artikel ini, kita akan membahas mengapa \( \tan \alpha \) memiliki nilai \( -\sqrt{2} \) ketika \( \operatorname{cosec} \alpha = -\sqrt{2} \) dengan \( 180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ} \). Pertama, mari kita tinjau definisi dari fungsi tangen (\( \tan \)). Fungsi tangen dari suatu sudut \( \alpha \) didefinisikan sebagai rasio antara panjang sisi yang berlawanan dengan sudut tersebut (dalam segitiga siku-siku) dengan panjang sisi yang berseberangan dengan sudut siku-siku. Dalam hal ini, kita perlu memahami hubungan antara \( \tan \alpha \) dan \( \operatorname{cosec} \alpha \). Kita tahu bahwa \( \operatorname{cosec} \alpha \) adalah kebalikan dari sin (\( \sin \)) dari sudut \( \alpha \). Dalam segitiga siku-siku, sin (\( \sin \)) dari sudut \( \alpha \) didefinisikan sebagai rasio antara panjang sisi yang berlawanan dengan sudut tersebut dengan panjang sisi miring (hipotenusa). Jadi, jika \( \operatorname{cosec} \alpha = -\sqrt{2} \), maka sin (\( \sin \)) dari sudut \( \alpha \) adalah \( -\frac{1}{\sqrt{2}} \). Selanjutnya, kita tahu bahwa \( \tan \alpha \) adalah kebalikan dari cos (\( \cos \)) dari sudut \( \alpha \). Dalam segitiga siku-siku, cos (\( \cos \)) dari sudut \( \alpha \) didefinisikan sebagai rasio antara panjang sisi yang berseberangan dengan sudut tersebut dengan panjang sisi miring (hipotenusa). Jadi, jika \( \tan \alpha = -\sqrt{2} \), maka cos (\( \cos \)) dari sudut \( \alpha \) adalah \( -\frac{1}{\sqrt{2}} \). Dalam trigonometri, ada hubungan yang dikenal sebagai identitas trigonometri. Salah satu identitas trigonometri yang relevan dalam konteks ini adalah \( \tan \alpha = \frac{1}{\operatorname{cot} \alpha} \). Jadi, jika \( \tan \alpha = -\sqrt{2} \), maka \( \operatorname{cot} \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} \). Dalam segitiga siku-siku, cot (\( \cot \)) dari sudut \( \alpha \) didefinisikan sebagai rasio antara panjang sisi yang berseberangan dengan sudut tersebut dengan panjang sisi yang berlawanan dengan sudut siku-siku. Jadi, jika \( \operatorname{cot} \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} \), maka panjang sisi yang berseberangan dengan sudut \( \alpha \) adalah \( -\frac{1}{\sqrt{2}} \) kali panjang sisi yang berlawanan dengan sudut siku-siku. Dalam segitiga siku-siku, panjang sisi yang berseberangan dengan sudut \( \alpha \) adalah panjang sisi yang berlawanan dengan sudut siku-siku. Jadi, jika panjang sisi yang berseberangan dengan sudut \( \alpha \) adalah \( -\frac{1}{\sqrt{2}} \) kali panjang sisi yang berlawanan dengan sudut siku-siku, maka panjang sisi yang berseberangan dengan sudut \( \alpha \) adalah \( -\sqrt{2} \) kali panjang sisi yang berlawanan dengan sudut siku-siku. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa jika \( \operatorname{cosec} \alpha = -\sqrt{2} \) dengan \( 180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ} \), maka \( \tan \alpha \) adalah \( -\sqrt{2} \). Dalam artikel ini, kita telah membahas mengapa \( \tan \alpha \) memiliki nilai \( -\sqrt{2} \) ketika \( \operatorname{cosec} \alpha = -\sqrt{2} \) dengan \( 180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ} \). Dengan pemahaman ini, kita dapat menggunakan fungsi tangen (\( \tan \)) untuk memecahkan masalah trigonometri yang melibatkan sudut-sudut dalam rentang tersebut.