Menyelesaikan Limit dengan Substitusi dan Faktorisasi

Dalam artikel ini, kita akan mengeksplorasi cara menyelesaikan limit $\lim _{x\rightarrow \frac {3\pi }{2}}\frac {sinx+1}{cos^{2}x}$ menggunakan metode substitusi dan faktorisasi. Limit ini mungkin terlihat rumit pada pandangan pertama, tetapi dengan pendekatan yang tepat, kita dapat menyelesaikannya dengan efisien. Langkah 1: Substitusi Langkah pertama dalam menyelesaikan limit ini adalah dengan mensubstitusi nilai $x = \frac{3\pi}{2}$ ke dalam ekspresi. Dengan melakukan ini, kita mendapatkan: $$\lim _{x\rightarrow \frac {3\pi }{2}}\frac {sinx+1}{cos^{2}x} = \frac {sin(\frac{3\pi}{2})+1}{cos^{2}(\frac{3\pi}{2})}$$ Langkah 2: Evaluasi Nilai Trigonometri Selanjutnya, kita perlu mengevaluasi nilai-nilai trigonometri pada $x = \frac{3\pi}{2}$. Diketahui bahwa $sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ dan $cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$. Substitusi nilai-nilai ini ke dalam ekspresi, kita dapatkan: $$\frac {-1+1}{0^{2}} = \frac {0}{0}$$ Langkah 3: Faktorisasi Kita melihat bahwa hasil substitusi kita menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$, yang tidak ditentukan. Untuk mengatasi masalah ini, kita dapat menggunakan metode faktorisasi. Kita dapat memfaktorkan penyebut sebagai $cos(x)$, sehingga ekspresi menjadi: $$\lim _{x\rightarrow \frac {3\pi }{2}}\frac {sinx+1}{cos(x) \cdot cos(x)}$$ Langkah 4: Ulangi Substitusi Sekarang, kita dapat mengulangi substitusi $x = \frac{3\pi}{2}$ ke dalam ekspresi yang difaktorkan. Dengan melakukan ini, kita mendapatkan: $$\frac {sin(\frac{3\pi}{2})+1}{cos(\frac{3\pi}{2}) \cdot cos(\frac{3\pi}{2})} = \frac {-1+1}{0 \cdot 0} = \frac {0}{0}$$ Langkah 5: Evaluasi Limit Kita melihat bahwa hasil substitusi kita masih menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$, yang tidak ditentukan. Namun, kita dapat mengevaluasi limit ini dengan menggunakan identitas trigonometri. Kita tahu bahwa $sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ dan $cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$. Oleh karena itu, kita dapat menulis: $$\lim _{x\rightarrow \frac {3\pi }{2}}\frac {sinx+1}{cos^{2}x} = \lim _{x\rightarrow \frac {3\pi }{2}}\frac {-1}{cos^{2}x}$$ Ketika kita mensubstitusi $x = \frac{3\pi}{2}$, kita mendapatkan: $$\frac {-1}{0^{2}} = \frac {-1}{0}$$ Namun, kita tahu bahwa pembagian dengan nol tidak ditentukan. Oleh karena itu, kita perlu menggunakan pendekatan yang berbeda untuk menyelesaikan limit ini. Langkah 6: Pendekatan Alternatif Kita dapat menggunakan pendekatan alternatif untuk menyelesaikan limit ini. Kita tahu bahwa $cos^{2}x = 1 - sin^{2}x$. Oleh karena itu, kita dapat menulis: $$\lim _{x\rightarrow \frac {3\pi }{2}}\frac {sinx+1}{cos^{2}x} = \lim _{x\rightarrow \frac {3\pi }{2}}\frac {sinx+1}{1 - sin^{2}x}$$ Kita dapat mensubstitusi $x = \frac{3\pi}{2}$ ke dalam ekspresi ini dan mengevaluasi limitnya. Dengan melakukan ini, kita mendapatkan: $$\frac {-1