Menguji Kebenaran 1+3+5...+(2n+1) dengan Induksi Matematik

Induksi matematika adalah metode yang digunakan untuk membuktikan kebenaran pernyataan matematika. Salah satu contoh pernyataan yang sering diuji menggunakan induksi matematika adalah 1+3+5...+(2n+1). Dalam artikel ini, kita akan menjelaskan bagaimana menggunakan induksi matematika untuk membuktikan kebenaran pernyataan ini. Pertama-tama, mari kita lihat pola yang terbentuk dari deret ini. Jika kita mengamati dengan seksama, kita dapat melihat bahwa setiap suku dalam deret ini adalah bilangan ganjil berturut-turut, dimulai dari 1. Dengan kata lain, suku pertama adalah 1, suku kedua adalah 3, suku ketiga adalah 5, dan seterusnya. Sekarang, mari kita gunakan induksi matematika untuk membuktikan kebenaran pernyataan ini. Langkah pertama dalam induksi matematika adalah menguji pernyataan untuk kasus dasar. Dalam hal ini, kasus dasar adalah ketika n = 1. Jika kita menggantikan n dengan 1 dalam pernyataan 1+3+5...+(2n+1), kita akan mendapatkan 1+3 = 4. Jadi, pernyataan ini benar untuk kasus dasar. Langkah berikutnya adalah mengasumsikan bahwa pernyataan ini benar untuk suatu nilai n tertentu. Dalam hal ini, kita asumsikan bahwa pernyataan ini benar untuk n = k, di mana k adalah suatu bilangan bulat positif. Dengan asumsi ini, kita ingin membuktikan bahwa pernyataan ini juga benar untuk n = k+1. Jika kita menggantikan n dengan k+1 dalam pernyataan 1+3+5...+(2n+1), kita akan mendapatkan 1+3+5...+(2k+1)+(2(k+1)+1). Dalam hal ini, kita dapat menggunakan asumsi kita bahwa pernyataan ini benar untuk n = k. Jadi, kita dapat menggantikan 1+3+5...+(2k+1) dengan 2k^2+2k+1. Jadi, pernyataan ini menjadi 2k^2+2k+1+(2(k+1)+1). Jika kita menyederhanakan ekspresi ini, kita akan mendapatkan 2k^2+4k+3. Jika kita mengamati dengan seksama, kita dapat melihat bahwa ini adalah suku ke-(k+1) dalam deret ini. Jadi, pernyataan ini benar untuk n = k+1. Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa pernyataan 1+3+5...+(2n+1) benar menggunakan induksi matematika.