Membuktikan Identitas Trigonometri

Dalam matematika, identitas trigonometri adalah persamaan yang melibatkan fungsi trigonometri yang benar untuk setiap nilai sudut tertentu. Dalam artikel ini, kita akan membuktikan beberapa identitas trigonometri yang umum digunakan. Mari kita lihat satu per satu. a) $secx\cdot sinx=tanx$ Untuk membuktikan identitas ini, kita akan menggunakan definisi dari fungsi trigonometri. Pertama, kita tahu bahwa $secx = \frac{1}{cosx}$ dan $tanx = \frac{sinx}{cosx}$. Jadi, kita dapat mengganti $secx$ dan $tanx$ dalam persamaan tersebut: $\frac{1}{cosx} \cdot sinx = \frac{sinx}{cosx}$ Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengalikan kedua sisi dengan $cosx$: $sinx = sinx$ Dengan demikian, identitas ini terbukti. b) $\frac {sin^{2}x}{1-cosx}=1+cosx$ Untuk membuktikan identitas ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri yang sudah diketahui. Pertama, kita tahu bahwa $sin^2x + cos^2x = 1$. Kita dapat mengganti $sin^2x$ dalam persamaan tersebut: $\frac {1-cos^2x}{1-cosx}=1+cosx$ Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengalikan kedua sisi dengan $1-cosx$: $1-cos^2x = (1+cosx)(1-cosx)$ Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan menggunakan identitas $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$: $(1-cosx)(1+cosx) = (1+cosx)(1-cosx)$ Dengan demikian, identitas ini terbukti. c) $sinx(1+cot^{2}x)=cosecx$ Untuk membuktikan identitas ini, kita akan menggunakan definisi dari fungsi trigonometri. Pertama, kita tahu bahwa $cosecx = \frac{1}{sinx}$ dan $cotx = \frac{cosx}{sinx}$. Jadi, kita dapat mengganti $cosecx$ dan $cotx$ dalam persamaan tersebut: $sinx(1+\frac{cos^2x}{sin^2x}) = \frac{1}{sinx}$ Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengalikan kedua sisi dengan $sin^2x$: $sin^2x + cos^2x = 1$ Kita tahu bahwa ini adalah identitas trigonometri yang sudah diketahui, jadi identitas ini terbukti. d) $\frac {sec^{4}x-1}{tan^{2}x}=sec^{2}x+1$ Untuk membuktikan identitas ini, kita akan menggunakan definisi dari fungsi trigonometri. Pertama, kita tahu bahwa $secx = \frac{1}{cosx}$ dan $tanx = \frac{sinx}{cosx}$. Jadi, kita dapat mengganti $secx$ dan $tanx$ dalam persamaan tersebut: $\frac {(\frac{1}{cosx})^4-1}{(\frac{sinx}{cosx})^2} = (\frac{1}{cosx})^2+1$ Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengalikan kedua sisi dengan $cos^2x$: $\frac {1- cos^4x}{sin^2x} = 1+cos^2x$ Kita tahu bahwa $1- cos^4x = (1-cos^2x)(1+cos^2x)$, jadi kita dapat menggantinya dalam persamaan tersebut: $\frac {(1-cos^2x)(1+cos^2x)}{sin^2x} = 1+cos^2x$ Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan membagi kedua sisi dengan $(1+cos^2x)$: $\frac {1-cos^2x}{sin^2x} = 1$ Kita tahu bahwa ini adalah identitas trigonometri yang sudah diketahui, jadi identitas ini terbukti. e