Menjelajahi Konsep Limit dengan Fungsi Rasional dan Akar **

Dalam dunia matematika, konsep limit merupakan fondasi penting dalam memahami perilaku fungsi. Limit menggambarkan nilai yang didekati oleh suatu fungsi ketika variabel input mendekati nilai tertentu. Salah satu contoh menarik adalah limit fungsi rasional dengan akar, seperti yang ditunjukkan dalam soal: $\lim _{x\rightarrow 3}\frac {\sqrt {x^{2}-7}-\sqrt {x-1}}{x-3}$ Pada pandangan pertama, fungsi ini tampak rumit. Namun, dengan menggunakan teknik aljabar yang tepat, kita dapat menyederhanakannya dan menemukan limitnya. Langkah 1: Menyederhanakan Fungsi Pertama, kita perlu menghilangkan bentuk tak tentu 0/0 yang muncul ketika x = 3. Untuk melakukannya, kita dapat menggunakan teknik rasionalisasi. Kita kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari pembilang: $\lim _{x\rightarrow 3}\frac {\sqrt {x^{2}-7}-\sqrt {x-1}}{x-3} \times \frac {\sqrt {x^{2}-7}+\sqrt {x-1}}{\sqrt {x^{2}-7}+\sqrt {x-1}}$ Setelah mengalikan, kita peroleh: $\lim _{x\rightarrow 3}\frac {(x^{2}-7)-(x-1)}{(x-3)(\sqrt {x^{2}-7}+\sqrt {x-1})}$ Langkah 2: Menyederhanakan Lebih Lanjut Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan pembilang dan penyebut: $\lim _{x\rightarrow 3}\frac {x^{2}-x-6}{(x-3)(\sqrt {x^{2}-7}+\sqrt {x-1})}$ $\lim _{x\rightarrow 3}\frac {(x-3)(x+2)}{(x-3)(\sqrt {x^{2}-7}+\sqrt {x-1})}$ Langkah 3: Menghilangkan Faktor Umum Sekarang, kita dapat menghilangkan faktor (x-3) yang sama pada pembilang dan penyebut: $\lim _{x\rightarrow 3}\frac {x+2}{\sqrt {x^{2}-7}+\sqrt {x-1}}$ Langkah 4: Mencari Limit Akhirnya, kita dapat mencari limit dengan mensubstitusikan x = 3: $\lim _{x\rightarrow 3}\frac {x+2}{\sqrt {x^{2}-7}+\sqrt {x-1}} = \frac {3+2}{\sqrt {3^{2}-7}+\sqrt {3-1}} = \frac {5}{\sqrt {2}+\sqrt {2}} = \frac {5}{2\sqrt {2}}$ Kesimpulan: Dengan menggunakan teknik aljabar yang tepat, kita berhasil menemukan limit fungsi rasional dengan akar. Proses ini menunjukkan bahwa memahami konsep limit dan teknik manipulasi aljabar sangat penting dalam menyelesaikan masalah matematika yang kompleks. Wawasan:** Contoh ini menunjukkan bahwa meskipun fungsi tampak rumit, dengan pendekatan yang sistematis dan penggunaan teknik yang tepat, kita dapat menemukan solusi yang elegan. Hal ini juga menunjukkan bahwa matematika bukanlah sekadar kumpulan rumus, tetapi alat yang kuat untuk memahami dan memecahkan masalah di berbagai bidang.