Menghitung Volume Benda Putar yang Terjadi saat Daerah yang Dibatasi oleh Kurva dan Garis Diputar Mengelilingi Sumbu X

Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang bagaimana menghitung volume benda putar yang terjadi saat daerah yang dibatasi oleh kurva dan garis diputar mengelilingi sumbu X. Kita akan menggunakan persamaan kurva $y=x^{2}$ dan garis $y=2x$ sebagai contoh untuk mengilustrasikan konsep ini. Pertama-tama, mari kita lihat gambaran umum tentang benda putar. Benda putar adalah benda tiga dimensi yang terbentuk saat suatu daerah di bidang diputar mengelilingi sumbu tertentu. Dalam kasus ini, sumbu yang digunakan adalah sumbu X. Untuk menghitung volume benda putar, kita dapat menggunakan metode disk atau metode cincin. Metode disk digunakan ketika daerah yang diputar adalah daerah di antara kurva dan sumbu X, sedangkan metode cincin digunakan ketika daerah yang diputar adalah daerah di antara dua kurva. Dalam kasus ini, daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{2}$ dan garis $y=2x$ adalah daerah di antara kedua kurva tersebut. Oleh karena itu, kita akan menggunakan metode disk untuk menghitung volume benda putar. Langkah pertama dalam metode disk adalah membagi daerah yang diputar menjadi banyak elemen disk kecil. Kita dapat melakukannya dengan membagi sumbu X menjadi banyak interval kecil. Setiap interval akan menjadi lebar elemen disk. Selanjutnya, kita perlu menentukan tinggi elemen disk. Tinggi elemen disk pada setiap interval dapat ditentukan dengan mengurangi nilai y dari kurva atas dengan nilai y dari kurva bawah pada interval tersebut. Dalam kasus ini, kurva atas adalah garis $y=2x$ dan kurva bawah adalah kurva $y=x^{2}$. Setelah kita menentukan lebar dan tinggi elemen disk, kita dapat menghitung volume elemen disk dengan menggunakan rumus volume silinder, yaitu $V=\pi r^{2}h$, di mana r adalah jari-jari elemen disk dan h adalah tinggi elemen disk. Setelah kita menghitung volume setiap elemen disk, kita dapat menjumlahkannya untuk mendapatkan volume total benda putar. Kita dapat melakukannya dengan mengintegrasikan volume elemen disk dari batas bawah hingga batas atas daerah yang diputar. Dalam kasus ini, batas bawah adalah titik potong antara kurva $y=x^{2}$ dan garis $y=2x$, sedangkan batas atas adalah titik potong antara kurva $y=x^{2}$ dan sumbu X. Kita dapat menentukan titik potong ini dengan menyelesaikan persamaan $x^{2}=2x$. Setelah kita menentukan batas bawah dan batas atas, kita dapat mengintegrasikan volume elemen disk dari batas bawah hingga batas atas menggunakan rumus integral, yaitu $V=\int_{a}^{b}\pi r^{2}h dx$, di mana a adalah batas bawah dan b adalah batas atas. Dengan mengikuti langkah-langkah ini, kita dapat menghitung volume benda putar yang terjadi saat daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{2}$ dan garis $y=2x$ diputar mengelilingi sumbu X sejauh $360^{\circ }$.