Menghitung Nilai \( \cot x-\cot y \) dengan \( \cos x=a \) dan \( \sin y=b \)

Dalam matematika, terdapat hubungan antara fungsi trigonometri seperti \( \cos \) dan \( \sin \) dengan fungsi trigonometri lainnya seperti \( \cot \). Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menghitung nilai \( \cot x-\cot y \) dengan diketahui bahwa \( \cos x=a \) dan \( \sin y=b \), dengan \( x \) dan \( y \) merupakan sudut lancip. Pertama, mari kita tinjau definisi dari fungsi \( \cot \). Fungsi \( \cot \) dari suatu sudut \( \theta \) didefinisikan sebagai hasil bagi antara kosinus sudut tersebut dengan sinus sudut tersebut, yaitu \( \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \). Dalam kasus ini, kita diberikan bahwa \( \cos x=a \) dan \( \sin y=b \). Oleh karena itu, kita dapat menggantikan \( \cos x \) dengan \( a \) dan \( \sin y \) dengan \( b \) dalam rumus \( \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \). Sehingga, kita dapat menghitung \( \cot x \) dan \( \cot y \) sebagai berikut: \( \cot x = \frac{a}{\sin x} \) \( \cot y = \frac{\cos y}{b} \) Selanjutnya, kita dapat menghitung nilai \( \cot x-\cot y \) dengan menggantikan nilai \( \cot x \) dan \( \cot y \) yang telah kita peroleh sebelumnya: \( \cot x-\cot y = \frac{a}{\sin x} - \frac{\cos y}{b} \) Namun, kita perlu menyederhanakan persamaan ini agar lebih mudah untuk dihitung. Kita dapat menggunakan identitas trigonometri yang dikenal sebagai identitas Pythagoras, yaitu \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \). Dalam kasus ini, kita dapat menggantikan \( \sin x \) dengan \( \sqrt{1-\cos^2 x} \) dan \( \cos y \) dengan \( \sqrt{1-\sin^2 y} \). Setelah menggantikan nilai-nilai tersebut, kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi: \( \cot x-\cot y = \frac{a}{\sqrt{1-\cos^2 x}} - \frac{\sqrt{1-\sin^2 y}}{b} \) Dengan menggunakan identitas trigonometri lainnya, yaitu \( \sin^2 \theta = 1-\cos^2 \theta \) dan \( \cos^2 \theta = 1-\sin^2 \theta \), kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi: \( \cot x-\cot y = \frac{a}{\sqrt{1-a^2}} - \frac{\sqrt{1-b^2}}{b} \) Jadi, jawaban yang benar adalah A. \( \frac{a b-\sqrt{\left(1-a^{2}\right)\left(1-b^{2}\right)}}{b \sqrt{1-a^{2}}} \). Dalam artikel ini, kita telah membahas bagaimana menghitung nilai \( \cot x-\cot y \) dengan diketahui bahwa \( \cos x=a \) dan \( \sin y=b \). Dengan menggunakan identitas trigonometri yang tepat, kita dapat menyederhanakan persamaan dan mencari jawaban yang benar. Semoga artikel ini bermanfaat dan membantu pemahaman Anda tentang fungsi trigonometri.