Persamaan Kuadrat dan Pentelesaian

Persamaan kuadrat adalah jenis persamaan matematika yang memiliki bentuk umum \(ax^2 + bx + c = 0\), di mana \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah konstanta dan \(x\) adalah variabel. Persamaan ini memiliki akar-akar yang dapat dihitung menggunakan rumus kuadratik. Dalam soal ini, kita diberikan beberapa persamaan dan diminta untuk mencari akar-akarnya. Mari kita lihat satu per satu. 1. Persamaan \(x^2 + 3x - 6 = 0\): Untuk mencari akar-akar persamaan ini, kita dapat menggunakan rumus kuadratik. Rumusnya adalah \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Dalam persamaan ini, \(a = 1\), \(b = 3\), dan \(c = -6\). Menggantikan nilai-nilai ini ke dalam rumus, kita dapatkan: \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot -6}}{2 \cdot 1}\) Simplifikasi lebih lanjut memberikan: \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2}\) \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{2}\) Jadi, akar-akar persamaan ini adalah \(x = \frac{-3 + \sqrt{33}}{2}\) dan \(x = \frac{-3 - \sqrt{33}}{2}\). 2. Persamaan \(2y^2 - 3y = 1\): Untuk mencari akar-akar persamaan ini, kita dapat menggunakan rumus kuadratik yang sama. Dalam persamaan ini, \(a = 2\), \(b = -3\), dan \(c = -1\). Menggantikan nilai-nilai ini ke dalam rumus, kita dapatkan: \(y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot -1}}{2 \cdot 2}\) Simplifikasi lebih lanjut memberikan: \(y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4}\) \(y = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}\) Jadi, akar-akar persamaan ini adalah \(y = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}\) dan \(y = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}\). 3. Persamaan \((2x - 5)^2 - 81 = 0\): Untuk mencari pentelesaian persamaan ini, kita perlu menyelesaikan persamaan kuadratik yang ada di dalam tanda kurung terlebih dahulu. Dalam persamaan ini, kita memiliki \((2x - 5)^2 = 81\). Menghilangkan pangkat dua dengan mengakarkan kedua sisi persamaan, kita dapatkan: \(2x - 5 = \pm \sqrt{81}\) \(2x - 5 = \pm 9\) Simplifikasi lebih lanjut memberikan: \(2x = 5 \pm 9\) \(2x = 14\) atau \(2x = -4\) \(x = 7\) atau \(x = -2\) Jadi, pentelesaian persamaan ini adalah \(x = 7\) atau \(x = -2\). Dengan demikian, kita telah menemukan akar-akar dan pentelesaian dari persamaan-persamaan kuadrat yang diberikan.