Buktikan bahwa H adalah subgroup dari G

Dalam matematika, terdapat konsep grup yang merupakan himpunan dengan operasi tertentu yang memenuhi beberapa sifat tertentu. Salah satu contoh grup adalah G, yang merupakan grup dari semua bilangan kompleks tak nol terhadap operasi perkalian. Dalam artikel ini, kita akan membuktikan bahwa H, yang didefinisikan sebagai himpunan bilangan kompleks dalam G yang memenuhi persamaan a^2 + b^2 = 1, adalah subgroup dari G.

Untuk membuktikan bahwa H adalah subgroup dari G, kita perlu memeriksa tiga sifat yang harus dipenuhi oleh subgroup. Pertama, H harus merupakan himpunan non-kosong. Kedua, H harus tertutup terhadap operasi perkalian. Dan ketiga, setiap elemen dalam H harus memiliki invers dalam H.

Pertama-tama, mari kita periksa apakah H merupakan himpunan non-kosong. Dalam hal ini, kita dapat melihat bahwa elemen (1, 0) memenuhi persamaan a^2 + b^2 = 1, karena 1^2 + 0^2 = 1. Oleh karena itu, H tidak kosong.

Selanjutnya, kita perlu memeriksa apakah H tertutup terhadap operasi perkalian. Misalkan (a, b) dan (c, d) adalah dua elemen dalam H. Kita perlu menunjukkan bahwa hasil perkalian (a, b) dan (c, d) juga termasuk dalam H. Dalam hal ini, kita dapat mengalikan kedua elemen tersebut dan memperoleh (ac - bd, ad + bc). Kita perlu memeriksa apakah persamaan (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 = 1 terpenuhi. Setelah melakukan perhitungan, kita dapat melihat bahwa persamaan tersebut memang terpenuhi. Oleh karena itu, H tertutup terhadap operasi perkalian.

Terakhir, kita perlu memeriksa apakah setiap elemen dalam H memiliki invers dalam H. Misalkan (a, b) adalah elemen dalam H. Kita perlu menunjukkan bahwa terdapat elemen (c, d) dalam H sehingga (a, b) * (c, d) = (1, 0). Dalam hal ini, kita dapat memilih (c, d) = (a, -b). Setelah melakukan perhitungan, kita dapat melihat bahwa persamaan (a, b) * (a, -b) = (a^2 + b^2, 0) = (1, 0) terpenuhi. Oleh karena itu, setiap elemen dalam H memiliki invers dalam H.

Dengan demikian, setelah memeriksa ketiga sifat yang harus dipenuhi oleh subgroup, kita dapat menyimpulkan bahwa H adalah subgroup dari G.