Sketsa dan Perhitungan Volume Benda Pejal di Daerah R

Daerah \( R \) merupakan daerah yang dibatasi oleh kurva \( y=x+2 \) dan \( y=x^{2} \). Untuk memahami lebih lanjut tentang daerah ini, kita perlu membuat sketsa dan menghitung volume benda pejal yang terbentuk dengan memutar daerah mengelilingi garis \( x=\operatorname{nim}+2 \). Sketsa Daerah R: Untuk membuat sketsa daerah \( R \), kita perlu memahami kurva \( y=x+2 \) dan \( y=x^{2} \). Kurva \( y=x+2 \) adalah garis lurus dengan gradien 1 dan memotong sumbu \( y \) pada titik (0,2). Kurva \( y=x^{2} \) adalah parabola dengan bukaan ke atas dan memotong sumbu \( y \) pada titik (0,0). Untuk menentukan daerah \( R \), kita perlu mencari titik potong antara kedua kurva ini. Dengan menyelesaikan persamaan \( x+2=x^{2} \), kita dapat mencari titik potong antara kedua kurva ini. Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi \( x^{2}-x-2=0 \). Dengan menggunakan faktorisasi, kita dapat menulisnya sebagai \( (x-2)(x+1)=0 \). Oleh karena itu, titik potong antara kedua kurva ini adalah \( x=2 \) dan \( x=-1 \). Dengan meninjau sketsa kurva \( y=x+2 \) dan \( y=x^{2} \), kita dapat melihat bahwa daerah \( R \) terletak di antara kedua kurva ini, yaitu dari \( x=-1 \) hingga \( x=2 \). Daerah ini dapat digambarkan sebagai area di bawah kurva \( y=x+2 \) dan di atas kurva \( y=x^{2} \). Perhitungan Volume Benda Pejal: Sekarang, kita akan menghitung volume benda pejal yang terbentuk dengan memutar daerah \( R \) mengelilingi garis \( x=\operatorname{nim}+2 \). Untuk menghitung volume ini, kita dapat menggunakan metode diskus. Metode diskus melibatkan membagi daerah \( R \) menjadi banyak elemen diskus kecil dengan lebar \( \Delta x \). Setiap elemen diskus ini akan memiliki tinggi \( f(x) \), di mana \( f(x) \) adalah fungsi yang menggambarkan kurva \( y=x+2 \) atau \( y=x^{2} \). Volume setiap elemen diskus dapat dihitung dengan rumus \( V=\pi r^{2}h \), di mana \( r \) adalah jari-jari diskus dan \( h \) adalah tinggi diskus. Dalam kasus ini, jari-jari diskus adalah \( x-(\operatorname{nim}+2) \) dan tinggi diskus adalah \( f(x) \). Oleh karena itu, volume setiap elemen diskus dapat ditulis sebagai \( V=\pi(x-(\operatorname{nim}+2))^{2}f(x) \). Untuk menghitung volume total benda pejal, kita perlu menjumlahkan volume semua elemen diskus. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan integral untuk menjumlahkan volume semua elemen diskus. Oleh karena itu, volume total benda pejal dapat ditulis sebagai \( V=\int_{-1}^{2}\pi(x-(\operatorname{nim}+2))^{2}f(x)dx \). Dengan menggantikan \( f(x) \) dengan \( x+2 \) atau \( x^{2} \) sesuai dengan daerah yang relevan, kita dapat menghitung volume total benda pejal dengan menggunakan integral. Dengan mengikuti langkah-langkah ini, kita dapat membuat sketsa daerah \( R \) dan menghitung volume benda pejal yang terbentuk dengan memutar daerah mengelilingi garis \( x=\operatorname{nim}+2 \).