Mencari Hubungan dan Nilai yang Memastikan Kontinuitas dan Keberadaan Turunan Fungsi f(x)

Fungsi matematika adalah alat penting dalam memodelkan dan memahami fenomena di dunia nyata. Dalam artikel ini, kita akan membahas fungsi f(x) yang diberikan oleh: $f(x)=\{ \begin{matrix} x^{2},&x\lt 1\\ px+q,&x\geqslant 1\end{matrix} $ Tujuan kita adalah untuk menentukan hubungan antara p dan q agar fungsi f kontinu di x=1, serta menentukan nilai p dan q agar f'(1) ada. Untuk memastikan kontinuitas fungsi f di x=1, kita perlu memastikan bahwa nilai f(1-) = f(1+). Dalam hal ini, kita perlu membandingkan nilai f(x) saat x mendekati 1 dari kiri dan kanan. Dari definisi fungsi f(x), kita dapat menghitung f(1-) sebagai berikut: $f(1-)=1^{2}=1$ Sementara itu, untuk menghitung f(1+), kita perlu menggunakan persamaan f(x) saat x≥1: $f(1+)=p(1)+q=p+q$ Untuk memastikan kontinuitas, kita perlu memastikan bahwa f(1-) = f(1+), sehingga kita dapat menetapkan persamaan: 1 = p + q Dengan demikian, hubungan antara p dan q agar fungsi f kontinu di x=1 adalah p + q = 1. Selanjutnya, kita akan menentukan nilai p dan q agar f'(1) ada. Untuk menentukan f'(1), kita perlu menghitung turunan fungsi f(x) dan mengevaluasinya di x=1. Turunan fungsi f(x) dapat dihitung sebagai berikut: $f'(x)=\{ \begin{matrix} 2x,&x\lt 1\\ p,&x\geqslant 1\end{matrix} $ Untuk menghitung f'(1), kita perlu menggunakan persamaan f'(x) saat x≥1: $f'(1)=p$ Dengan demikian, agar f'(1) ada, kita perlu menentukan nilai p. Dalam artikel ini, kita telah menentukan hubungan antara p dan q agar fungsi f kontinu di x=1, yaitu p + q = 1. Selain itu, kita juga telah menentukan bahwa agar f'(1) ada, kita perlu menentukan nilai p. Dengan memahami hubungan dan nilai yang memastikan kontinuitas dan keberadaan turunan fungsi f(x), kita dapat lebih memahami sifat dan perilaku fungsi matematika dalam konteks yang lebih luas.