Analisis Grafik Fungsi \(y = x^{3}+3x^{2}+5\)

Dalam artikel ini, kita akan menganalisis grafik fungsi \(y = x^{3}+3x^{2}+5\) dengan menggunakan informasi yang diberikan dalam soal. Kita akan melihat bagaimana bentuk parabola terbuka ke atas, menemukan koordinat titik minimum, dan menggambarkan grafik fungsi tersebut. Pertama-tama, mari kita lihat turunan pertama dan kedua dari fungsi ini. Turunan pertama, \(y'\), diberikan oleh \(3x^{2}+6x+6-7\). Turunan kedua, \(y''\), diberikan oleh \(6x+6\). Dari turunan kedua ini, kita dapat melihat bahwa nilainya selalu positif, yaitu \(y'' > 0\). Hal ini menunjukkan bahwa bentuk parabola fungsi ini terbuka ke atas. Selanjutnya, kita akan mencari koordinat titik minimum dari fungsi ini. Untuk mencari titik minimum, kita perlu mencari nilai \(x\) ketika \(y'' = 0\). Dari persamaan \(6x+6 = 0\), kita dapatkan \(x = -1\). Jadi, titik minimum dari fungsi ini adalah \((-1, 9)\). Dengan menggunakan informasi ini, kita dapat menggambarkan grafik fungsi \(y = x^{3}+3x^{2}+5\). Grafik ini akan memiliki bentuk parabola terbuka ke atas dengan titik minimum di \((-1, 9)\). Grafik ini akan melintasi sumbu \(y\) di \(y = 5\) dan akan naik secara eksponensial saat \(x\) meningkat. Dalam kesimpulan, fungsi \(y = x^{3}+3x^{2}+5\) memiliki bentuk parabola terbuka ke atas dengan titik minimum di \((-1, 9)\). Grafik fungsi ini melintasi sumbu \(y\) di \(y = 5\) dan naik secara eksponensial saat \(x\) meningkat.