Menghitung Nilai dari $a^{2}-b^{2}$ dengan $a=2+\sqrt {5}$ dan $b=2-\sqrt {5}$

Dalam matematika, terkadang kita dihadapkan pada permasalahan yang melibatkan perhitungan nilai dari ekspresi matematika yang kompleks. Salah satu contohnya adalah ketika kita diminta untuk menghitung nilai dari $a^{2}-b^{2}$ dengan $a=2+\sqrt {5}$ dan $b=2-\sqrt {5}$. Langkah pertama yang perlu kita lakukan adalah menggantikan nilai $a$ dan $b$ ke dalam ekspresi tersebut. Dengan menggantikan nilai $a=2+\sqrt {5}$ dan $b=2-\sqrt {5}$, kita dapat menghitung nilai dari $a^{2}-b^{2}$ sebagai berikut: $a^{2}-b^{2} = (2+\sqrt {5})^{2} - (2-\sqrt {5})^{2}$ Untuk menghitung ekspresi ini, kita dapat menggunakan rumus perpangkatan binomial. Rumus ini menyatakan bahwa $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$. Dengan menggunakan rumus ini, kita dapat menghitung nilai dari $(2+\sqrt {5})^{2}$ dan $(2-\sqrt {5})^{2}$ secara terpisah. $(2+\sqrt {5})^{2} = 2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt {5} + (\sqrt {5})^{2} = 4 + 4\sqrt {5} + 5 = 9 + 4\sqrt {5}$ $(2-\sqrt {5})^{2} = 2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt {5} + (\sqrt {5})^{2} = 4 - 4\sqrt {5} + 5 = 9 - 4\sqrt {5}$ Sekarang kita dapat menggantikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi awal: $a^{2}-b^{2} = (2+\sqrt {5})^{2} - (2-\sqrt {5})^{2} = (9 + 4\sqrt {5}) - (9 - 4\sqrt {5})$ Ketika kita mengurangkan kedua ekspresi ini, kita dapat menghilangkan angka 9 dan mendapatkan: $a^{2}-b^{2} = 4\sqrt {5} - (-4\sqrt {5}) = 4\sqrt {5} + 4\sqrt {5} = 8\sqrt {5}$ Jadi, nilai dari $a^{2}-b^{2}$ dengan $a=2+\sqrt {5}$ dan $b=2-\sqrt {5}$ adalah $8\sqrt {5}$.