Menggunakan Trigonometri untuk Menyeikan Masalah Matematik

Dalam matematika, trigonometri adalah cabang yang mempelajari hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku. Dalam masalah ini, kita akan menggunakan trigonometri untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi trigonometri dan identitas trigonometri.

Masalah yang diberikan adalah: $\frac {sin45^{\circ }\cdot sin75^{\circ }}{sin30^{\circ }\cdot cos15^{\circ }}=\ldots $

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu menggunakan identitas trigonometri. Identitas trigonometri adalah rumus matematika yang menghubungkan fungsi trigonomet berbeda. Dalam kasus ini, kita akan menggunakan identitas $\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$.

Dengan menggunakan identitas ini, kita dapat menyederhanakan ekspresi masalah:

$\frac {sin45^{\circ }\cdot sin75^{\circ }}{sin30^{\circ }\cdot cos15^{\circ }} = \frac {( \sin 45^{\circ }\cos 75^{\circ } + \cos 45^{\circ }\sin 75^{\circ } )}{( \sin 30^{\circ }\cos 15^{\circ } + \cos 30^{\circ }\sin 15^{\circ } )}$

Kita dapat menyederhanakan ekspresi ini lebih lanjut dengan menggunakan identitas trigonometri lainnya:

$\frac {sin45^{\circ }\cdot sin75^{\circ }}{sin30^{\circ }\cdot cos15^{\circ }} = \frac {( \sin 45^{\circ }\cos 75^{\circ } + \cos 45^{\circ }\sin 75^{\circ } )}{( \sin 30^{\circ }\cos 15^{\circ } + \cos 30^{\circ }\sin 15^{\circ } )} = \frac {( \frac {1}{\sqrt {2}} \cdot \frac {\sqrt {3}}{2} + \frac {\sqrt {2}}{2} \cdot \frac {1}{2} )}{( \frac {1}{2} \cdot \frac {\sqrt {3}}{2} + \frac {\sqrt {3}}{2} \cdot \frac {1}{2} )} = \frac {( \frac {1}{2} \sqrt {6} + \frac {1}{2} \sqrt {2} )}{( \frac {1}{2} \sqrt {3} + \frac {1}{2} \sqrt {3} )} = \frac {1}{2} \sqrt {6} + \frac {1}{2} \sqrt {2} = \frac {1}{2} \sqrt {12} = \frac {1}{2} \sqrt {3} \cdot \sqrt {4} = \frac {1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt {3} = \sqrt {6}$

Oleh karena itu, jawaban dari masalah ini adalah $\sqrt {6}$.

Dalam kesimpulannya, kita telah menggunakan trigonometri untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi trigonometri dan identitas trigonometri. Dengan menggunakan identitas trigonometri, kita dapat menyeder ekspresi masalah dan menemukan bahwa jawabannya adalah $\sqrt {6}$.