Solusi Umum Persamaan Diferensial Parsial Orde Pertam

Persamaan diferensial parsial orde pertama yang diberikan adalah: $\frac {\partial U}{\partial t}+\frac {1}{3}\frac {\partial U}{\partial x}=0$ Kita diminta untuk menentukan solusi umum dari persamaan ini dengan syarat awal $U(x,0)=x$. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial ini, kita dapat menggunakan metode pemisahan variabel. Kita asumsikan solusi umumnya dapat ditulis sebagai $U(x,t)=X(x)T(t)$. Substitusikan solusi ini ke dalam persamaan diferensial parsial: $\frac {\partial (X(x)T(t))}{\partial t}+\frac {1}{3}\frac {\partial (X(x)T(t))}{\partial x}=0$ Kemudian kita pisahkan variabelnya: $\frac {1}{T(t)}\frac {dT(t)}{dt}=-\frac {1}{3}\frac {1}{X(x)}\frac {dX(x)}{dx}$ Karena kedua sisi persamaan hanya bergantung pada variabel yang berbeda, maka kedua sisi harus konstan. Kita dapat menuliskan persamaan ini sebagai: $\frac {1}{T(t)}\frac {dT(t)}{dt}=-\lambda=-\frac {1}{3}\frac {1}{X(x)}\frac {dX(x)}{dx}$ Sekarang kita memiliki dua persamaan diferensial biasa yang terpisah. Mari kita selesaikan masing-masing persamaan ini. Persamaan diferensial biasa pertama adalah: $\frac {1}{T(t)}\frac {dT(t)}{dt}=-\lambda$ Solusi umum dari persamaan ini adalah: $T(t)=Ce^{-\lambda t}$ Persamaan diferensial biasa kedua adalah: $-\frac {1}{3}\frac {1}{X(x)}\frac {dX(x)}{dx}=-\lambda$ Kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi: $\frac {dX(x)}{dx}=\lambda X(x)$ Solusi umum dari persamaan ini adalah: $X(x)=Ae^{\lambda x}$ Kombinasi solusi umum dari kedua persamaan diferensial biasa ini memberikan solusi umum dari persamaan diferensial parsial asli: $U(x,t)=X(x)T(t)=Ae^{\lambda x}Ce^{-\lambda t}$ Dengan menggunakan syarat awal $U(x,0)=x$, kita dapat mencari nilai-nilai konstanta A dan C. Substitusikan nilai t=0 dan U(x,0)=x ke dalam solusi umum: $x=Ae^{\lambda x}C$ Dari sini, kita dapat mencari nilai-nilai konstanta A dan C dengan memecahkan persamaan ini. Dengan demikian, solusi umum dari persamaan diferensial parsial orde pertama $\frac {\partial U}{\partial t}+\frac {1}{3}\frac {\partial U}{\partial x}=0$ dengan syarat awal $U(x,0)=x$ adalah $U(x,t)=Ae^{\lambda x}Ce^{-\lambda t}$, dengan nilai-nilai konstanta A dan C yang dapat ditentukan melalui syarat awal.