Menentukan Fungsi \( f(x) \) Berdasarkan Komposisi Fungsi

Dalam matematika, komposisi fungsi adalah operasi yang menggabungkan dua fungsi menjadi satu fungsi baru. Dalam soal ini, kita diminta untuk menentukan fungsi \( f(x) \) berdasarkan komposisi fungsi dari \( g(x) \) dan \( f(x) \). Pertama, mari kita tinjau fungsi \( g(x) \) yang diberikan. Fungsi \( g(x) \) didefinisikan sebagai \( g(x) = x^2 - 2x \). Selanjutnya, kita diberikan informasi bahwa \( (g \circ f)(x) = x^2 - 10x + 24 \). Untuk menentukan fungsi \( f(x) \), kita perlu mencari hubungan antara \( g(x) \) dan \( f(x) \). Dalam komposisi fungsi, kita menggantikan \( x \) dalam fungsi \( g(x) \) dengan \( f(x) \). Oleh karena itu, kita dapat menulis \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \). Dalam kasus ini, kita ingin mencari fungsi \( f(x) \) sehingga \( g(f(x)) = x^2 - 10x + 24 \). Untuk mencari fungsi \( f(x) \), kita perlu mencari fungsi yang ketika dimasukkan ke dalam \( g(x) \), menghasilkan \( x^2 - 10x + 24 \). Mari kita coba menggantikan \( f(x) \) dengan beberapa pilihan jawaban yang diberikan. A. \( f(x) = 4 - x \) Jika kita menggantikan \( f(x) \) dengan \( 4 - x \) dalam \( g(x) \), kita akan mendapatkan \( g(f(x)) = (4 - x)^2 - 2(4 - x) \). Namun, hasil ini tidak sama dengan \( x^2 - 10x + 24 \), oleh karena itu, pilihan A bukanlah fungsi yang benar. B. \( f(x) = 6 - x \) Jika kita menggantikan \( f(x) \) dengan \( 6 - x \) dalam \( g(x) \), kita akan mendapatkan \( g(f(x)) = (6 - x)^2 - 2(6 - x) \). Namun, hasil ini juga tidak sama dengan \( x^2 - 10x + 24 \), oleh karena itu, pilihan B bukanlah fungsi yang benar. C. \( f(x) = x + 4 \) Jika kita menggantikan \( f(x) \) dengan \( x + 4 \) dalam \( g(x) \), kita akan mendapatkan \( g(f(x)) = (x + 4)^2 - 2(x + 4) \). Jika kita menyederhanakan ekspresi ini, kita akan mendapatkan \( g(f(x)) = x^2 + 8x + 16 - 2x - 8 \). Hasil ini sama dengan \( x^2 - 10x + 24 \), oleh karena itu, pilihan C adalah fungsi yang benar. D. \( f(x) = x - 4 \) Jika kita menggantikan \( f(x) \) dengan \( x - 4 \) dalam \( g(x) \), kita akan mendapatkan \( g(f(x)) = (x - 4)^2 - 2(x - 4) \). Namun, hasil ini tidak sama dengan \( x^2 - 10x + 24 \), oleh karena itu, pilihan D bukanlah fungsi yang benar. E. \( f(x) = x - 6 \) Jika kita menggantikan \( f(x) \) dengan \( x - 6 \) dalam \( g(x) \), kita akan mendapatkan \( g(f(x)) = (x - 6)^2 - 2(x - 6) \). Namun, hasil ini juga tidak sama dengan \( x^2 - 10x + 24 \), oleh karena itu, pilihan E bukanlah fungsi yang benar. Dari analisis di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi \( f(x) \) yang benar adalah \( f(x) = x + 4 \).