Menentukan Persamaan Kuadrat dari Akar-Akar Tertentu

Persamaan kuadrat merupakan suatu persamaan yang memiliki bentuk umum \(ax^2 + bx + c = 0\), di mana \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah konstanta dan \(x\) adalah variabel. Untuk menyelesaikan suatu persamaan kuadrat, kita perlu mengetahui akar-akarnya, yaitu nilai-nilai dari \(x\) yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam kasus ini, kita diberikan beberapa pasangan nilai \(x_{1}\) dan \(x_{2}\) dan diminta untuk menentukan persamaan kuadrat yang sesuai. Mari kita lihat setiap pasangan nilai secara terpisah. a. \(x_{1} = 2\) dan \(x_{2} = -3\) Untuk menentukan persamaan kuadratnya, kita perlu menggunakan rumus dasar faktorisasi persamaan kuadrat. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan rumus \(x^2 - (x_{1} + x_{2})x + x_{1}x_{2} = 0\). Menggantikan nilai-nilai yang diberikan, kita dapatkan \(x^2 - (2 + (-3))x + (2 \times -3) = 0\), yang dapat disederhanakan menjadi \(x^2 - x - 6 = 0\). Oleh karena itu, persamaan kuadratnya adalah \(x^2 - x - 6 = 0\). b. \(x_{1} = 3\) dan \(x_{2} = 0\) Menggunakan rumus yang sama seperti sebelumnya, kita dapat menggantikan nilai-nilai yang diberikan dan mendapatkan \(x^2 - (3 + 0)x + (3 \times 0) = 0\), yang disederhanakan menjadi \(x^2 - 3x = 0\). Jadi, persamaan kuadratnya adalah \(x^2 - 3x = 0\). c. \(x_{1} = -2\) dan \(x_{2} = -5\) Menggunakan rumus yang sama, kita dapat menggantikan nilai-nilai dan mendapatkan \(x^2 - (-2 + (-5))x + (-2 \times -5) = 0\), yang disederhanakan menjadi \(x^2 + 7x + 10 = 0\). Jadi, persamaan kuadratnya adalah \(x^2 + 7x + 10 = 0\). d. \(x_{1} = 0\) dan \(x_{2} = \frac{1}{1 + \sqrt{5}}\) Menggantikan nilai-nilai yang diberikan, kita dapatkan \(x^2 - (0 + \frac{1}{1 + \sqrt{5}})x + (0 \times \frac{1}{1 + \sqrt{5}}) = 0\), yang disederhanakan menjadi \(x^2 - \frac{1}{1 + \sqrt{5}}x = 0\). Jadi, persamaan kuadratnya adalah \(x^2 - \frac{1}{1 + \sqrt{5}}x = 0\). Dalam kesimpulan, kita telah menentukan persamaan kuadrat yang sesuai untuk setiap pasangan nilai \(x_{1}\) dan \(x_{2}\) yang diberikan. Kita dapat menggunakan rumus faktorisasi persamaan kuadrat untuk menyelesaikan masalah semacam ini.