Mencari Nilai x yang Memenuhi Persamaan Determinan

Dalam matematika, determinan adalah suatu nilai yang dapat dihitung dari suatu matriks persegi. Determinan sering digunakan dalam berbagai aplikasi, seperti sistem persamaan linear, transformasi linier, dan perhitungan invers matriks. Dalam artikel ini, kita akan mencari nilai x yang memenuhi persamaan determinan dari dua matriks A dan B. Diketahui matriks A dan B sebagai berikut: \( A=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 2 & 3x-2\end{array}\right) \) \( B=\left(\begin{array}{ll}-1 & 2 \\ -3 & 5\end{array}\right) \) Kita ingin mencari nilai x yang memenuhi persamaan determinan dari kedua matriks tersebut, yaitu \( \operatorname{det}(A) = \operatorname{det}(B) \). Untuk mencari determinan matriks A, kita dapat menggunakan aturan ekspansi kofaktor atau aturan Sarrus. Namun, dalam artikel ini, kita akan menggunakan metode aturan ekspansi kofaktor. Determinan matriks A dapat dihitung dengan rumus berikut: \( \operatorname{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} \) Dalam rumus di atas, \( a_{ij} \) adalah elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j, sedangkan \( C_{ij} \) adalah kofaktor dari elemen tersebut. Mari kita terapkan rumus tersebut pada matriks A: \( \operatorname{det}(A) = 1 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} \) Karena elemen pertama pada matriks A adalah 1, maka kita hanya perlu menghitung kofaktor \( C_{11} \). Kofaktor \( C_{11} \) dapat dihitung dengan rumus berikut: \( C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot M_{11} \) Dalam rumus di atas, \( M_{ij} \) adalah minor dari elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j. Mari kita terapkan rumus tersebut pada matriks A: \( C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot M_{11} \) Karena elemen pertama pada matriks A adalah 1, maka kita hanya perlu menghitung minor \( M_{11} \). Minor \( M_{11} \) dapat dihitung dengan rumus berikut: \( M_{11} = (3x-2) \) Kembali ke rumus determinan matriks A: \( \operatorname{det}(A) = 1 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} \) Substitusikan nilai kofaktor \( C_{11} \) yang telah kita hitung sebelumnya: \( \operatorname{det}(A) = 1 \cdot ( (-1)^{1+1} \cdot (3x-2) ) + 0 \cdot C_{12} \) Sederhanakan ekspresi di atas: \( \operatorname{det}(A) = (3x-2) \) Sekarang, kita akan mencari determinan matriks B menggunakan metode yang sama. Determinan matriks B dapat dihitung dengan rumus berikut: \( \operatorname{det}(B) = b_{11}C_{11} + b_{12}C_{12} \) Mari kita terapkan rumus tersebut pada matriks B: \( \operatorname{det}(B) = (-1) \cdot C_{11} + 2 \cdot C_{12} \) Karena elemen pertama pada matriks B adalah -1, maka kita hanya perlu menghitung kofaktor \( C_{11} \) dan \( C_{12} \). Kofaktor \( C_{11} \) dan \( C_{12} \) dapat dihitung dengan rumus yang sama seperti pada matriks A. Kembali ke rumus determinan matriks B: \( \operatorname{det}(B) = (-1) \cdot C_{11} + 2 \cdot C_{12} \) Substitusikan nilai kofaktor \( C_{11} \) dan \( C_{12} \) yang telah kita hitung sebelumnya: \( \operatorname{det}(B) = (-1) \cdot ( (-1)^{1+1} \cdot (3x-2) ) + 2 \cdot 0 \) Sederhanakan ekspresi di atas: \( \operatorname{det}(B) = -(3x-2) \) Karena kita ingin mencari nilai x yang memenuhi persamaan determinan \( \operatorname{det}(A) = \operatorname{det}(B) \), kita dapat menyelesaikan persamaan berikut: \( (3x-2) = -(3x-2) \) Kita dapat menyederhanakan persamaan di atas: \( 3x-2 = -3x+2 \) Tambahkan 3x pada kedua sisi persamaan: \( 6x-2 = 2 \) Tambahkan 2 pada kedua sisi persamaan: \( 6x = 4 \) Bagi kedua sisi persamaan dengan 6: \( x = \frac{4}{6} \) Sederhanakan pecahan di atas: \( x = \frac{2}{3} \) Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan determinan \( \operatorname{det}(A) = \operatorname{det}(B) \) adalah \( x = \frac{2}{3} \).