Menganalisis Batas Fungsi \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{x-a}{\sqrt{x}-\sqrt{a}} \)

Dalam matematika, batas fungsi adalah konsep yang penting dalam mempelajari perilaku fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis batas fungsi khusus, yaitu \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{x-a}{\sqrt{x}-\sqrt{a}} \), di mana \( a \) adalah suatu konstanta. Pertama-tama, mari kita perhatikan bentuk asli dari fungsi ini. Dalam kasus ini, kita memiliki perbedaan kuadrat di pembilang dan penyebut, yaitu \( x-a \) dan \( \sqrt{x}-\sqrt{a} \). Untuk mempermudah analisis, kita dapat menggunakan rumus perbedaan kuadrat untuk menyederhanakan fungsi ini. Rumus perbedaan kuadrat adalah \( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \). Dalam kasus kita, kita dapat mengalikan dan membagi fungsi dengan \( \sqrt{x}+\sqrt{a} \) untuk menyederhanakan fungsi menjadi bentuk yang lebih sederhana. Setelah menyederhanakan fungsi, kita dapat melihat bahwa \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{x-a}{\sqrt{x}-\sqrt{a}} \) sama dengan \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} \). Dalam kasus ini, kita dapat melihat bahwa fungsi ini tidak terdefinisi saat \( \sqrt{x}+\sqrt{a} = 0 \), atau dengan kata lain, saat \( x = a \). Namun, saat \( x \) mendekati \( a \), \( \sqrt{x}+\sqrt{a} \) juga mendekati \( 2\sqrt{a} \). Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{x-a}{\sqrt{x}-\sqrt{a}} \) adalah \( \frac{1}{2\sqrt{a}} \). Dalam kesimpulan, kita telah menganalisis batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{x-a}{\sqrt{x}-\sqrt{a}} \) dan menyimpulkan bahwa batas ini adalah \( \frac{1}{2\sqrt{a}} \).