Persamaan Garis Singgung dari Kurva \( y=2 \sin x-1 \) di Titik Berabsis \( x=\pi / 6 \)

Dalam matematika, persamaan garis singgung adalah persamaan yang menggambarkan garis yang menyentuh kurva pada suatu titik tertentu. Dalam kasus ini, kita akan mencari persamaan garis singgung dari kurva \( y=2 \sin x-1 \) di titik berabsis \( x=\pi / 6 \). Untuk mencari persamaan garis singgung, kita perlu menggunakan konsep turunan. Turunan dari suatu fungsi adalah perubahan nilai fungsi terhadap perubahan nilai variabel independen. Dalam hal ini, kita akan mencari turunan dari fungsi \( y=2 \sin x-1 \). Turunan dari fungsi \( y=2 \sin x-1 \) dapat ditemukan dengan menggunakan aturan turunan. Aturan turunan untuk fungsi trigonometri adalah sebagai berikut: 1. Turunan dari \( \sin x \) adalah \( \cos x \). 2. Turunan dari konstanta \( a \) adalah \( 0 \). Dengan menggunakan aturan turunan, kita dapat mencari turunan dari fungsi \( y=2 \sin x-1 \) sebagai berikut: \( \frac{dy}{dx} = 2 \cos x \) Setelah kita memiliki turunan fungsi, kita dapat mencari nilai turunan pada titik berabsis \( x=\pi / 6 \). Substitusikan \( x=\pi / 6 \) ke dalam turunan fungsi: \( \frac{dy}{dx} = 2 \cos (\pi / 6) \) Sekarang kita dapat mencari nilai dari \( \cos (\pi / 6) \). Dalam trigonometri, kita tahu bahwa \( \cos (\pi / 6) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Substitusikan nilai \( \cos (\pi / 6) \) ke dalam turunan fungsi: \( \frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \) Sederhanakan ekspresi: \( \frac{dy}{dx} = \sqrt{3} \) Sekarang kita memiliki nilai turunan dari fungsi \( y=2 \sin x-1 \) pada titik berabsis \( x=\pi / 6 \). Persamaan garis singgung dapat ditemukan dengan menggunakan rumus: \( y-y_1 = m(x-x_1) \) Di mana \( m \) adalah nilai turunan dan \( (x_1, y_1) \) adalah koordinat titik berabsis \( x=\pi / 6 \). Substitusikan nilai \( m = \sqrt{3} \) dan \( x_1 = \pi / 6 \) ke dalam rumus persamaan garis singgung: \( y-y_1 = \sqrt{3}(x-x_1) \) Sederhanakan ekspresi: \( y-\left(2 \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)-1\right) = \sqrt{3}(x-\frac{\pi}{6}) \) Sekarang kita dapat menyederhanakan persamaan garis singgung: \( y = \sqrt{3}x - \frac{\pi \sqrt{3}}{6} + \sqrt{3} - 1 \) Jadi, persamaan garis singgung dari kurva \( y=2 \sin x-1 \) di titik berabsis \( x=\pi / 6 \) adalah \( y = \sqrt{3}x - \frac{\pi \sqrt{3}}{6} + \sqrt{3} - 1 \). Dengan demikian, jawaban yang benar adalah B. \( \mathrm{y}=x \sqrt{3}-\frac{\pi \sqrt{3}}{6} \).