Menemukan Nilai \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \) dalam Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah salah satu topik yang penting dalam matematika. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menemukan nilai \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \) dalam persamaan kuadrat. Khususnya, kita akan melihat contoh persamaan kuadrat \( x^{2}-4x-5=0 \) dan mencari nilai dari ekspresi tersebut. Dalam persamaan kuadrat \( x^{2}-4x-5=0 \), kita diberikan akar-akar persamaan, yaitu \( x_{1} \) dan \( x_{2} \). Kita ingin mencari nilai dari ekspresi \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \). Untuk melakukannya, kita dapat menggunakan rumus Vieta, yang menyatakan bahwa jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah \( -\frac{b}{a} \) dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat adalah \( \frac{c}{a} \). Dalam persamaan kuadrat \( x^{2}-4x-5=0 \), koefisien \( a \), \( b \), dan \( c \) adalah 1, -4, dan -5 secara berturut-turut. Oleh karena itu, kita dapat menghitung bahwa \( x_{1}+x_{2}=-\frac{-4}{1}=4 \) dan \( x_{1}x_{2}=\frac{-5}{1}=-5 \). Sekarang, kita ingin mencari nilai dari \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \). Kita dapat menggunakan identitas aljabar \( (x_{1}+x_{2})^{2}=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2} \). Dalam hal ini, kita sudah mengetahui nilai dari \( x_{1}+x_{2} \) dan \( x_{1}x_{2} \), jadi kita dapat menggantikan nilainya ke dalam rumus tersebut. \( (x_{1}+x_{2})^{2}=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2} \) \( (4)^{2}=x_{1}^{2}+2(-5)+x_{2}^{2} \) \( 16=x_{1}^{2}-10+x_{2}^{2} \) Karena kita ingin mencari nilai dari \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \), kita dapat menyederhanakan persamaan tersebut dengan menggantikan nilai dari \( x_{1}+x_{2} \) dan \( x_{1}x_{2} \) yang sudah kita hitung sebelumnya. \( 16=4-10+x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \) \( 16=-6+x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \) Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai dari \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \) dalam persamaan kuadrat \( x^{2}-4x-5=0 \) adalah 16. Dalam artikel ini, kita telah membahas bagaimana menemukan nilai \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \) dalam persamaan kuadrat. Kita menggunakan rumus Vieta untuk menghitung jumlah dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat, dan kemudian menggunakan identitas aljabar untuk mencari nilai dari \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \). Semoga artikel ini bermanfaat dan membantu pemahaman Anda tentang persamaan kuadrat.