Pengenalan Bilangan Kompleks dan Operasi Matematik

Bilangan kompleks adalah konsep penting dalam matematika yang memperluas sistem bilangan real dengan memperkenalkan komponen imajiner. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa aspek dasar bilangan kompleks, termasuk bagian riil dan imajiner, konjugat, operasi aritmatika, dan konversi ke bentuk polar dan eksponensial. ### 2. Bilangan Kompleks #### a. Bagian Riil dan Imajiner Diketahui bilangan kompleks \( z = 3 - j10 \). Dalam bilangan kompleks, bagian riil adalah koefisien dari \( j \) (dalam notasi \( j \)), dan bagian imajiner adalah koefisien dari \( 1 \). Oleh karena itu, untuk \( z = 3 - j10 \): - Bagian riil: \( 3 \) - Bagian imajiner: \( -10 \) #### b. Konjugat Konjugat dari bilangan kompleks \( z = a + jb \) adalah \( \overline{z} = a - jb \). Jadi, untuk \( z = 3 - j10 \), konjugatnya adalah: \[ \overline{z} = 3 + j10 \] #### 3. Operasi Matematika pada Bilangan Kompleks Diketahui \( z_{1} = 5 + j4 \) dan \( z_{2} = 3 - j \). ##### a. Penjumlahan \[ z_{1} + z_{2} = (5 + j4) + (3 - j) = 8 + j3 \] ##### b. Pengurangan \[ z_{1} - z_{2} = (5 + j4) - (3 - j) = 2 + j5 \] ##### c. Perkalian \[ z_{1} \cdot z_{2} = (5 + j4) \cdot (3 - j) = 15 - 5j + 12j - 4j^2 \] Karena \( j^2 = -1 \), maka: \[ z_{1} \cdot z_{2} = 15 + 7j + 4 = 19 + 7j \] ##### d. Pembagian \[ \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{5 + j4}{3 - j} \] Untuk membagi, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut: \[ \frac{5 + j4}{3 - j} \cdot \frac{3 + j}{3 + j} = \frac{(5 + j4)(3 + j)}{(3 - j)(3 + j)} \] \[ = \frac{15 + 5j + 12j + 4j^2}{9 + 3j - 3j - j^2} \] \[ = \frac{15 + 17j - 4}{9 + 1} = \frac{11 + 17j}{10} = 1.1 + 1.7j \] #### 4. Konversi ke Bentuk Polar dan Eksponensial Bilangan kompleks \( z = 3 - j4 \) dapat diubah ke bentuk polar dengan menghitung modulus dan argumen. ##### Modulus \[ |z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \] ##### Argumen \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-4}{3}\right) \approx -53.13^\circ \] ##### Bentuk Polar \[ z = 5 \left( \cos(-53.13^\circ) + j \sin(-53.13^\circ) \right) \] ##### Bentuk Eksponensial \[ z = 5 e^{-j53.13^\circ} \] Dengan memahami konsep-konsep ini, kita dapat bekerja dengan bilangan kompleks dalam berbagai konteks matematika dan aplikasi ilmiah.