Menganalisis Fungsi Rasional \( f(x)=\frac{(x-1)}{\left(x^{2}+1\right)} \)

Fungsi rasional adalah jenis fungsi matematika yang terdiri dari pecahan polinomial. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis fungsi rasional \( f(x)=\frac{(x-1)}{\left(x^{2}+1\right)} \) dan melihat bagaimana fungsi ini berperilaku. Pertama-tama, mari kita lihat domain fungsi ini. Domain adalah himpunan semua nilai x yang dapat kita masukkan ke dalam fungsi untuk mendapatkan hasil yang terdefinisi dengan baik. Dalam kasus ini, karena kita memiliki pembagian oleh \( x^{2}+1 \), kita harus memastikan bahwa \( x^{2}+1

eq 0 \). Dengan kata lain, kita harus memastikan bahwa \( x^{2}

eq -1 \). Namun, kita tahu bahwa tidak ada nilai real x yang memenuhi persamaan ini. Oleh karena itu, domain fungsi ini adalah himpunan semua bilangan real. Selanjutnya, mari kita lihat asimtot vertikal fungsi ini. Asimtot vertikal adalah garis vertikal yang tidak dapat kita tembus oleh grafik fungsi. Dalam kasus ini, kita dapat melihat bahwa \( x^{2}+1 \) tidak memiliki akar real. Oleh karena itu, tidak ada asimtot vertikal pada grafik fungsi ini. Selanjutnya, mari kita lihat asimtot horizontal fungsi ini. Asimtot horizontal adalah garis horizontal yang mendekati grafik fungsi saat x mendekati tak hingga atau negatif tak hingga. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan aturan pembagian untuk melihat bahwa ketika x mendekati tak hingga, \( f(x) \) mendekati 0. Oleh karena itu, y=0 adalah asimtot horizontal pada grafik fungsi ini. Selanjutnya, mari kita lihat titik potong dengan sumbu x dan sumbu y. Untuk mencari titik potong dengan sumbu x, kita harus mencari nilai x yang membuat \( f(x) = 0 \). Dalam kasus ini, kita dapat melihat bahwa \( f(x) = 0 \) ketika \( x-1 = 0 \), yang berarti x=1. Oleh karena itu, titik potong dengan sumbu x adalah (1,0). Untuk mencari titik potong dengan sumbu y, kita harus mencari nilai y ketika x=0. Dalam kasus ini, kita dapat melihat bahwa \( f(0) = \frac{(0-1)}{\left(0^{2}+1\right)} = -1 \). Oleh karena itu, titik potong dengan sumbu y adalah (0,-1). Terakhir, mari kita lihat bagaimana grafik fungsi ini berperilaku secara umum. Karena kita memiliki pecahan polinomial, kita dapat menggunakan aturan pembagian untuk membagi setiap koefisien polinomial. Dalam kasus ini, kita dapat melihat bahwa ketika x mendekati tak hingga, \( f(x) \) mendekati 0. Ketika x mendekati negatif tak hingga, \( f(x) \) mendekati 0 juga. Oleh karena itu, grafik fungsi ini mendekati asimtot horizontal y=0 saat x mendekati tak hingga atau negatif tak hingga. Dalam kesimpulan, fungsi rasional \( f(x)=\frac{(x-1)}{\left(x^{2}+1\right)} \) memiliki domain yang meliputi semua bilangan real, tidak memiliki asimtot vertikal, memiliki asimtot horizontal y=0, dan memiliki titik potong dengan sumbu x pada (1,0) dan titik potong dengan sumbu y pada (0,-1). Grafik fungsi ini mendekati asimtot horizontal y=0 saat x mendekati tak hingga atau negatif tak hingga.