Ekspansi Deret Fourier untuk Fungsi Periodik

Dalam matematika, deret Fourier adalah alat yang sangat berguna dalam menganalisis fungsi periodik. Dalam artikel ini, kita akan membahas ekspansi deret Fourier untuk fungsi periodik yang diberikan. Fungsi yang diberikan adalah $f(x)$ yang didefinisikan sebagai berikut:

$f(x)=\{ \begin{matrix} -4,\\ x,\end{matrix} $ jika $0\lt x\lt 4$

-4,jika $-4\lt x\lt 0$

Kita akan mencari ekspansi deret Fourier dari fungsi ini.

Deret Fourier adalah representasi fungsi periodik sebagai jumlah dari sinus dan kosinus dengan frekuensi yang berbeda. Untuk fungsi periodik $f(x)$ dengan periode $2L$, ekspansi deret Fourier diberikan oleh:

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \left( \frac{n\pi x}{L} \right) + b_n \sin \left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right)$

Di mana $a_0$, $a_n$, dan $b_n$ adalah koefisien deret Fourier yang harus ditentukan.

Untuk mencari koefisien deret Fourier, kita perlu menghitung integral dari fungsi $f(x)$ dikalikan dengan fungsi sinus dan kosinus. Dalam kasus ini, kita akan menghitung integral dari fungsi $f(x)$ dikalikan dengan fungsi sinus dan kosinus dengan frekuensi $\frac{n\pi}{L}$.

Setelah menghitung integral-integral ini, kita akan mendapatkan rumus umum untuk koefisien deret Fourier. Dalam kasus ini, kita akan mendapatkan rumus-rumus untuk $a_0$, $a_n$, dan $b_n$.

Setelah kita menemukan rumus-rumus ini, kita dapat menggantikan nilai-nilai ini ke dalam ekspansi deret Fourier dan mendapatkan ekspresi akhir untuk fungsi $f(x)$ dalam bentuk deret Fourier.

Dengan demikian, kita telah berhasil menemukan ekspansi deret Fourier untuk fungsi periodik yang diberikan.

Dalam artikel ini, kita telah membahas ekspansi deret Fourier untuk fungsi periodik $f(x)$ yang diberikan. Kita telah menemukan rumus-rumus untuk koefisien deret Fourier dan menggunakan rumus-rumus ini untuk mendapatkan ekspresi akhir untuk fungsi $f(x)$ dalam bentuk deret Fourier. Ekspansi deret Fourier adalah alat yang sangat berguna dalam menganalisis fungsi periodik dan dapat digunakan untuk mempelajari sifat-sifat matematika yang menarik.