Membuktikan Nilai Batas dengan Menggunakan Teorema Limit

Dalam matematika, teorema limit adalah alat yang sangat berguna untuk membuktikan nilai batas suatu fungsi saat variabel mendekati suatu titik tertentu. Dalam artikel ini, kita akan menggunakan teorema limit untuk membuktikan nilai batas dari ekspresi \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{\left(2 x^{2}+5 x+8\right)}-\sqrt{\left(2 x^{2}+2 x-1\right)}\right) \). Pertama-tama, mari kita perhatikan ekspresi tersebut dengan lebih cermat. Kita memiliki dua akar kuadrat yang dikurangkan satu sama lain. Untuk mempermudah perhitungan, kita dapat mencoba untuk menyederhanakan ekspresi ini dengan mengalikan dan membagi dengan konjugat dari setiap akar kuadrat. Dengan melakukan ini, kita dapat mengubah ekspresi menjadi \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{(2 x^{2}+5 x+8)-(2 x^{2}+2 x-1)}{\sqrt{\left(2 x^{2}+5 x+8\right)}+\sqrt{\left(2 x^{2}+2 x-1\right)}}\right) \). Sekarang, kita dapat menyederhanakan ekspresi ini dengan mengurangi koefisien dan menggabungkan suku-suku yang sama. Setelah melakukan ini, kita akan mendapatkan \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{7 x+9}{\sqrt{\left(2 x^{2}+5 x+8\right)}+\sqrt{\left(2 x^{2}+2 x-1\right)}}\right) \). Sekarang, kita dapat menggunakan teorema limit untuk membuktikan nilai batas dari ekspresi ini saat \( x \) mendekati tak hingga. Dalam kasus ini, kita dapat melihat bahwa suku dengan pangkat tertinggi dalam pembilang dan penyebut adalah \( 7x \) dan \( \sqrt{2x^2} \) masing-masing. Karena pangkat tertinggi dalam pembilang adalah \( x \), sedangkan pangkat tertinggi dalam penyebut adalah \( x^2 \), kita dapat mengabaikan suku-suku dengan pangkat yang lebih rendah saat \( x \) mendekati tak hingga. Oleh karena itu, kita dapat menyederhanakan ekspresi menjadi \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{7}{\sqrt{2}}\right) \). Dengan menggunakan teorema limit, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai batas dari ekspresi \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{\left(2 x^{2}+5 x+8\right)}-\sqrt{\left(2 x^{2}+2 x-1\right)}\right) \) adalah \( \frac{7}{\sqrt{2}} \). Dalam artikel ini, kita telah menggunakan teorema limit untuk membuktikan nilai batas dari ekspresi yang diberikan. Dengan memahami konsep teorema limit dan menggunakan teknik yang tepat, kita dapat dengan mudah membuktikan nilai batas dari berbagai ekspresi matematika.