Menghitung Kosinus Sudut antara Vektor-Vektor Tertentu

Dalam artikel ini, kita akan menghitung kosinus sudut antara beberapa pasang vektor yang diberikan. Kita akan fokus pada empat pasang vektor, yaitu: a) Vektor pertama: $(\begin{matrix} 1\\ 1\\ 0\end{matrix} )$ dan vektor kedua: $(\begin{matrix} 1\\ 0\\ 1\end{matrix} )$ b) Vektor pertama: $(\begin{matrix} -3\\ 2\\ 1\end{matrix} )$ dan vektor kedua: $(\begin{matrix} 1\\ 4\\ 2\end{matrix} )$ c) Vektor pertama: $(\begin{matrix} 1\\ 1\\ 1\end{matrix} )$ dan vektor kedua: $(\begin{matrix} 1\\ 1\\ -2\end{matrix} )$ Kosinus sudut antara dua vektor dapat memberikan informasi tentang sejauh mana kedua vektor tersebut saling berhubungan. Untuk menghitung kosinus sudut, kita dapat menggunakan rumus berikut: $$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{\|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\|}$$ di mana $\mathbf{A}$ dan $\mathbf{B}$ adalah vektor-vektor yang ingin kita hitung sudutnya, $\cdot$ adalah operasi dot product, dan $\|\mathbf{A}\|$ dan $\|\mathbf{B}\|$ adalah panjang vektor $\mathbf{A}$ dan $\mathbf{B}$ secara berturut-turut. Mari kita mulai dengan menghitung sudut antara vektor pertama dan vektor kedua pada setiap pasangan. a) Vektor pertama: $(\begin{matrix} 1\\ 1\\ 0\end{matrix} )$ dan vektor kedua: $(\begin{matrix} 1\\ 0\\ 1\end{matrix} )$ Dengan menggunakan rumus di atas, kita dapat menghitung dot product antara kedua vektor ini: $$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (1 \cdot 1) + (1 \cdot 0) + (0 \cdot 1) = 1$$ Selanjutnya, kita perlu menghitung panjang masing-masing vektor: $$\|\mathbf{A}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$ $$\|\mathbf{B}\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ Dengan menggunakan nilai-nilai ini, kita dapat menghitung kosinus sudut: $$\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$ Jadi, kosinus sudut antara vektor pertama dan vektor kedua pada pasangan ini adalah $\frac{1}{2}$. b) Vektor pertama: $(\begin{matrix} -3\\ 2\\ 1\end{matrix} )$ dan vektor kedua: $(\begin{matrix} 1\\ 4\\ 2\end{matrix} )$ Kita dapat mengikuti langkah-langkah yang sama untuk menghitung sudut antara kedua vektor ini: $$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (-3 \cdot 1) + (2 \cdot 4) + (1 \cdot 2) = 5$$ $$\|\mathbf{A}\| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{14}$$ $$\|\mathbf{B}\| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{21}$$ $$\cos(\theta) = \frac{5}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}}$$ c) Vektor pertama: $(\begin{matrix} 1\\ 1\\ 1\end{matrix} )$ dan vektor kedua: $(\begin{matrix} 1\\