Membuktikan Turunan Fungsi Linear

Dalam matematika, turunan adalah salah satu konsep yang penting dalam kalkulus. Turunan digunakan untuk menghitung perubahan laju perubahan suatu fungsi pada suatu titik. Dalam artikel ini, kita akan membuktikan turunan dari fungsi linear. Fungsi linear adalah fungsi yang dapat dituliskan dalam bentuk \(f(x) = mx + c\), di mana \(m\) adalah gradien atau kemiringan garis dan \(c\) adalah konstanta. Untuk membuktikan turunan fungsi linear, kita akan menggunakan definisi turunan. Definisi turunan dari suatu fungsi \(f(x)\) adalah \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\). Dalam kasus fungsi linear, kita akan menggunakan definisi ini untuk membuktikan bahwa turunan dari fungsi linear adalah konstanta. Mari kita mulai dengan fungsi linear \(f(x) = mx + c\). Untuk menghitung \(f(x+h)\), kita perlu menggantikan \(x\) dengan \(x+h\) dalam fungsi tersebut. Jadi, \(f(x+h) = m(x+h) + c\). Sekarang, kita dapat menggantikan \(f(x+h)\) dan \(f(x)\) dalam definisi turunan. Jadi, \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{m(x+h) + c - (mx + c)}{h}\). Sekarang, kita dapat menyederhanakan persamaan ini. Dengan menggabungkan suku-suku yang sama, kita dapat menghilangkan beberapa variabel. Jadi, \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{mx + mh + c - mx - c}{h}\). Setelah menyederhanakan persamaan ini, kita dapat membatalkan beberapa suku. Jadi, \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{mh}{h}\). Sekarang, kita dapat membagi \(mh\) dengan \(h\). Jadi, \(f'(x) = \lim_{h \to 0} m\). Dalam batas ini, \(h\) mendekati nol. Jadi, \(f'(x) = m\). Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa turunan dari fungsi linear \(f(x) = mx + c\) adalah konstanta \(m\). Dalam artikel ini, kita telah membuktikan turunan dari fungsi linear menggunakan definisi turunan. Turunan fungsi linear adalah konstanta gradien atau kemiringan garis.