Bukti bahwa Relasi \( \Re \) pada Himpunan Bilangan Riil \( \mathbb{R} \) bukanlah Relasi Ekuivalen

Relasi \( \Re \) pada himpunan bilangan riil \( \mathbb{R} \) didefinisikan sebagai berikut: untuk setiap \( a, b \in \mathbb{R} \), \( a \Re b \) jika dan hanya jika \( |a-b|<2 \). Tugas kita adalah untuk menunjukkan bahwa relasi ini bukanlah relasi ekuivalen. Untuk membuktikan bahwa \( \Re \) bukanlah relasi ekuivalen, kita perlu memeriksa sifat transitif dari relasi ini. Sifat transitif menyatakan bahwa jika \( a \Re b \) dan \( b \Re c \), maka \( a \Re c \). Mari kita asumsikan bahwa \( a \Re b \) dan \( b \Re c \). Ini berarti \( |a-b|<2 \) dan \( |b-c|<2 \). Kita perlu menunjukkan bahwa \( a \Re c \), yaitu \( |a-c|<2 \). Dalam hal ini, kita dapat menggunakan ketidaksamaan segitiga untuk membantu kita. Ketidaksamaan segitiga menyatakan bahwa untuk setiap tiga bilangan riil \( x, y, z \), \( |x-z| \leq |x-y| + |y-z| \). Dengan menggunakan ketidaksamaan segitiga, kita dapat menulis: \( |a-c| = |a-b+b-c| \leq |a-b| + |b-c| < 2 + 2 = 4 \) Namun, kita tahu bahwa \( |a-c| \) harus kurang dari 2 agar \( a \Re c \) terpenuhi. Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa \( a \Re c \) tidak terpenuhi, yang berarti \( \Re \) bukanlah relasi ekuivalen. Dalam kesimpulan, kita telah membuktikan bahwa relasi \( \Re \) pada himpunan bilangan riil \( \mathbb{R} \) bukanlah relasi ekuivalen dengan memeriksa sifat transitif dari relasi tersebut.