Solusi Persamaan Trigonometri dan Nilai Sinus

Dalam matematika, persamaan trigonometri adalah persamaan yang melibatkan fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, csc, sec, dan cot. Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang solusi persamaan trigonometri khususnya persamaan \( \cot ^{2} x+2 \csc x+2=0 \) untuk \( 0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ} \) dan mencari nilai dari \( \sin \left(x-90^{\circ}\right) \). Persamaan trigonometri yang diberikan adalah \( \cot ^{2} x+2 \csc x+2=0 \). Untuk mencari solusinya, kita dapat menggunakan identitas trigonometri yang relevan. Pertama, kita akan mengubah persamaan tersebut menjadi bentuk yang lebih sederhana. Dalam persamaan ini, kita dapat mengganti \( \cot ^{2} x \) dengan \( \frac{1}{\tan ^{2} x} \) dan \( \csc x \) dengan \( \frac{1}{\sin x} \). Dengan melakukan substitusi ini, persamaan menjadi \( \frac{1}{\tan ^{2} x}+2 \cdot \frac{1}{\sin x}+2=0 \). Selanjutnya, kita dapat menggabungkan kedua suku pertama menjadi satu suku dengan menggunakan identitas trigonometri \( \frac{1}{\tan ^{2} x}+2 \cdot \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin ^{2} x + 2 \tan ^{2} x}{\sin x \tan ^{2} x} \). Dengan substitusi ini, persamaan menjadi \( \frac{\sin ^{2} x + 2 \tan ^{2} x}{\sin x \tan ^{2} x}+2=0 \). Selanjutnya, kita dapat menggabungkan kedua suku menjadi satu suku dengan menggunakan identitas trigonometri \( \sin ^{2} x + 2 \tan ^{2} x = \sin ^{2} x + 2 \left(\frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}\right) = \sin ^{2} x \left(1 + \frac{2}{\cos ^{2} x}\right) \). Dengan substitusi ini, persamaan menjadi \( \frac{\sin ^{2} x \left(1 + \frac{2}{\cos ^{2} x}\right)}{\sin x \tan ^{2} x}+2=0 \). Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan membagi kedua suku dengan \( \sin x \). Dengan melakukan ini, persamaan menjadi \( \frac{\sin x \left(1 + \frac{2}{\cos ^{2} x}\right)}{\sin x \tan ^{2} x}+2=0 \). Selanjutnya, kita dapat membatalkan suku \( \sin x \) pada kedua sisi persamaan. Dengan melakukan ini, persamaan menjadi \( \frac{1 + \frac{2}{\cos ^{2} x}}{\tan ^{2} x}+2=0 \). Selanjutnya, kita dapat mengalikan kedua suku dengan \( \cos ^{2} x \) untuk menyederhanakan persamaan ini. Dengan melakukan ini, persamaan menjadi \( 1 + 2 + 2 \cos ^{2} x = 0 \). Selanjutnya, kita dapat menggabungkan kedua suku pertama menjadi satu suku. Dengan melakukan ini, persamaan menjadi \( 3 + 2 \cos ^{2} x = 0 \). Selanjutnya, kita dapat memindahkan konstanta ke sisi kanan persamaan. Dengan melakukan ini, persamaan menjadi \( 2 \cos ^{2} x = -3 \). Selanjutnya, kita dapat membagi kedua suku dengan 2 untuk menyederhanakan persamaan ini. Dengan melakukan ini, persamaan menjadi \( \cos ^{2} x = -\frac{3}{2} \). Namun, kita tahu bahwa kuadrat dari cosinus tidak dapat bernilai negatif. Oleh karena itu, persamaan ini tidak memiliki solusi di dalam rentang \( 0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ} \). Dalam konteks ini, kita tidak dapat menentukan nilai dari \( \sin \left(x-90^{\circ}\right) \) karena persamaan trigonometri yang diberikan tidak memiliki solusi di dalam rentang yang ditentukan. Dengan demikian, jawaban yang tepat untuk pertanyaan ini adalah A. 0.