Solusi Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear adalah kumpulan persamaan linear yang harus diselesaikan secara bersamaan. Dalam artikel ini, kita akan membahas solusi dari himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode eliminasi Gauss-Jordan adalah salah satu metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode ini melibatkan serangkaian operasi baris elementer untuk mengubah sistem persamaan menjadi bentuk matriks yang lebih sederhana. Dalam proses ini, kita akan menghilangkan variabel-variabel yang tidak diperlukan dan mencari solusi yang unik. Mari kita lihat contoh sistem persamaan linear berikut: \[ \begin{align*} x + y &= 1 \\ y + 2 &= 6 \\ 2x + y + z &= 9 \\ \end{align*} \] Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, kita akan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. Langkah pertama adalah mengubah sistem persamaan menjadi bentuk matriks augmented. Dalam hal ini, matriks augmentednya adalah: \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 1 & 9 \\ \end{bmatrix} \] Langkah selanjutnya adalah melakukan operasi baris elementer untuk menghilangkan variabel-variabel yang tidak diperlukan. Dalam hal ini, kita akan menggunakan operasi baris elementer untuk menghilangkan variabel \(x\) dari persamaan kedua dan variabel \(y\) dari persamaan ketiga. Setelah melakukan operasi baris elementer, kita mendapatkan matriks augmented baru: \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ \end{bmatrix} \] Dari matriks augmented ini, kita dapat melihat bahwa solusi dari sistem persamaan linear ini adalah \(x = -3\), \(y = 4\), dan \(z = 5\). Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear ini adalah \(\langle -3, 4, 5 \rangle\). Dalam kesimpulan, metode eliminasi Gauss-Jordan adalah salah satu metode yang efektif untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Dalam contoh ini, kita telah berhasil menemukan solusi dari himpunan penyelesaian sistem persamaan linear \(x + y = 1\), \(y + 2 = 6\), dan \(2x + y + z = 9\), yaitu \(\langle -3, 4, 5 \rangle\).