Mengeliminasi Variabel z dalam Sistem Persamaan Linear

Dalam matematika, sistem persamaan linear adalah kumpulan persamaan linear yang terdiri dari beberapa variabel. Salah satu metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah dengan mengeliminasi variabel. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana mengeliminasi variabel z dalam sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear yang diberikan adalah sebagai berikut: $\{ \begin{matrix} x-2y+3z=-6\\ 2x+y-5z=0\\ 2x-3y-z=4\end{matrix} $ Untuk mengeliminasi variabel z, kita dapat menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan atau metode eliminasi substitusi. Namun, dalam artikel ini, kita akan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. Langkah pertama dalam metode eliminasi Gauss-Jordan adalah mengubah sistem persamaan linear menjadi matriks augmented. Matriks augmented untuk sistem persamaan linear di atas adalah sebagai berikut: $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -6\\ 2 & 1 & -5 & 0\\ 2 & -3 & -1 & 4\end{bmatrix}$ Langkah berikutnya adalah melakukan operasi baris pada matriks augmented untuk mengeliminasi variabel z. Operasi baris yang umum dilakukan adalah mengalikan baris dengan suatu konstanta dan menambahkan atau mengurangkan baris dengan baris lain. Dalam kasus ini, kita dapat mengalikan baris pertama dengan 2 dan menambahkannya ke baris ketiga. Hasilnya adalah sebagai berikut: $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -6\\ 2 & 1 & -5 & 0\\ 0 & -7 & 5 & 2\end{bmatrix}$ Selanjutnya, kita dapat mengalikan baris kedua dengan 2 dan menguranginya dari baris pertama. Hasilnya adalah sebagai berikut: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 13 & -6\\ 2 & 1 & -5 & 0\\ 0 & -7 & 5 & 2\end{bmatrix}$ Terakhir, kita dapat mengalikan baris kedua dengan 7 dan menambahkannya ke baris ketiga. Hasilnya adalah sebagai berikut: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 13 & -6\\ 2 & 1 & -5 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\end{bmatrix}$ Dari matriks augmented di atas, kita dapat melihat bahwa persamaan terakhir tidak memiliki variabel z. Oleh karena itu, sistem persamaan linear ini tidak memiliki solusi unik. Dalam kesimpulan, kita telah membahas bagaimana mengeliminasi variabel z dalam sistem persamaan linear. Metode eliminasi Gauss-Jordan adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Namun, perlu diingat bahwa tidak semua sistem persamaan linear memiliki solusi unik.