Rotasi Kurva \( y=-x^{2}+2x-3 \) Terhadap Titik Pusat \( (1,-1) \)

Rotasi merupakan salah satu konsep penting dalam matematika yang sering digunakan dalam berbagai aplikasi. Dalam artikel ini, kita akan membahas rotasi kurva \( y=-x^{2}+2x-3 \) sebesar \( 180^{\circ} \) terhadap titik pusat \( (1,-1) \). Tujuan dari artikel ini adalah untuk menentukan persamaan hasil rotasi kurva tersebut. Rotasi kurva dapat dilakukan dengan menggunakan rumus transformasi rotasi. Rumus ini mengubah setiap titik pada kurva menjadi titik baru dengan memutar kurva sebesar sudut tertentu terhadap titik pusat rotasi. Dalam kasus ini, kita ingin melakukan rotasi sebesar \( 180^{\circ} \) terhadap titik pusat \( (1,-1) \). Untuk menentukan persamaan hasil rotasi, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut: 1. Menggantikan \( x \) dengan \( x' \) dan \( y \) dengan \( y' \) dalam persamaan kurva asli. 2. Menggunakan rumus transformasi rotasi untuk menghitung \( x' \) dan \( y' \) berdasarkan \( x \), \( y \), dan sudut rotasi. 3. Menggantikan \( x' \) dengan \( x \) dan \( y' \) dengan \( y \) dalam persamaan hasil rotasi. Langkah pertama adalah menggantikan \( x \) dengan \( x' \) dan \( y \) dengan \( y' \) dalam persamaan kurva asli \( y=-x^{2}+2x-3 \). Kita mendapatkan \( y'=-x'^{2}+2x'-3 \). Langkah kedua adalah menghitung \( x' \) dan \( y' \) berdasarkan \( x \), \( y \), dan sudut rotasi. Dalam kasus ini, sudut rotasi adalah \( 180^{\circ} \) terhadap titik pusat \( (1,-1) \). Rumus transformasi rotasi adalah sebagai berikut: \[ x' = (x-a)\cos(\theta) - (y-b)\sin(\theta) + a \] \[ y' = (x-a)\sin(\theta) + (y-b)\cos(\theta) + b \] dengan \( a \) dan \( b \) adalah koordinat titik pusat rotasi, dan \( \theta \) adalah sudut rotasi. Dalam kasus ini, \( a = 1 \), \( b = -1 \), dan \( \theta = 180^{\circ} \). Dengan menggantikan nilai-nilai ini ke dalam rumus transformasi rotasi, kita dapat menghitung \( x' \) dan \( y' \). Langkah ketiga adalah menggantikan \( x' \) dengan \( x \) dan \( y' \) dengan \( y \) dalam persamaan hasil rotasi \( y'=-x'^{2}+2x'-3 \). Kita mendapatkan persamaan hasil rotasi \( y=-x^{2}+2x+5 \). Jadi, persamaan hasil rotasi kurva \( y=-x^{2}+2x-3 \) sebesar \( 180^{\circ} \) terhadap titik pusat \( (1,-1) \) adalah \( y=-x^{2}+2x+5 \). Dengan demikian, jawaban yang benar adalah a. \( y=x^{2}+2x+5 \).