Menentukan Nilai dan Sinus Sudut antara Dua Vektor

Dalam matematika, vektor adalah objek geometri yang memiliki magnitude (besar) dan arah. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menentukan nilai dan sinus sudut antara dua vektor. Kita diberikan dua vektor, yaitu vektor \( u=\left(\begin{array}{c}4 \\ 3 \\ -2\end{array}\right) \) dan \( v=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \). Tugas kita adalah menentukan nilai sudut antara kedua vektor ini. Untuk menentukan sudut antara dua vektor, kita dapat menggunakan rumus berikut: \[ \cos a = \frac{{u \cdot v}}{{\|u\| \cdot \|v\|}} \] di mana \( u \cdot v \) adalah hasil perkalian dot (dot product) antara vektor \( u \) dan \( v \), dan \( \|u\| \) dan \( \|v\| \) adalah magnitudenya masing-masing. Dalam kasus ini, kita dapat menghitung \( u \cdot v \) sebagai berikut: \[ u \cdot v = (4 \cdot 2) + (3 \cdot 2) + (-2 \cdot 1) = 8 + 6 - 2 = 12 \] Selanjutnya, kita perlu menghitung magnitudenya masing-masing: \[ \|u\| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29} \] \[ \|v\| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} \] Sekarang kita dapat menggabungkan semua nilai ini ke dalam rumus untuk menghitung nilai sudut \( a \): \[ \cos a = \frac{{12}}{{\sqrt{29} \cdot \sqrt{9}}} = \frac{{12}}{{\sqrt{261}}} \] Untuk menentukan nilai sudut \( a \), kita dapat menggunakan fungsi invers dari cosinus, yaitu arccos: \[ a = \arccos \left( \frac{{12}}{{\sqrt{261}}} \right) \] Dalam hal ini, kita dapat menggunakan kalkulator untuk menghitung nilai sudut \( a \) dengan presisi tertentu. Selain itu, kita juga diminta untuk menentukan nilai sinus sudut \( a \). Untuk ini, kita dapat menggunakan rumus trigonometri dasar: \[ \sin a = \sqrt{1 - \cos^2 a} \] Dengan menggunakan nilai sudut \( a \) yang telah kita hitung sebelumnya, kita dapat menghitung nilai sinus sudut \( a \) sebagai berikut: \[ \sin a = \sqrt{1 - \left( \frac{{12}}{{\sqrt{261}}} \right)^2} \] Sekarang kita telah berhasil menentukan nilai sudut \( a \) dan nilai sinus sudut \( a \) antara kedua vektor \( u \) dan \( v \).