Memahami dan Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah topik yang penting dalam matematika. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana memahami dan menyelesaikan SPLTV dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. SPLTV adalah sistem persamaan linear yang terdiri dari tiga persamaan dengan tiga variabel. Tujuan utama kita adalah untuk menemukan solusi yang memenuhi semua persamaan dalam sistem tersebut.

Pertama-tama, kita perlu memahami konsep dasar SPLTV. SPLTV dapat ditulis dalam bentuk matriks augmented, di mana koefisien variabel dan konstanta ditulis dalam matriks. Misalnya, SPLTV $\{ \begin{matrix} 2x+y-z=3\\ 3x+2y+z=18\\ x-y+2z=11\end{matrix} $ dapat ditulis dalam bentuk matriks augmented sebagai berikut:

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3\\ 3 & 2 & 1 & | & 18\\ 1 & -1 & 2 & | & 11\end{bmatrix}$

Langkah pertama dalam menyelesaikan SPLTV adalah mengubah matriks augmented menjadi bentuk eselon baris. Ini dapat dilakukan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. Dalam metode ini, kita melakukan operasi baris pada matriks untuk menghasilkan bentuk eselon baris yang setara. Operasi baris yang diperbolehkan adalah mengalikan baris dengan konstanta non-nol, menukar dua baris, dan menambahkan atau mengurangi baris dengan baris lain.

Setelah kita mendapatkan bentuk eselon baris, langkah selanjutnya adalah mengubahnya menjadi bentuk tereduksi baris. Dalam bentuk tereduksi baris, setiap baris yang tidak nol memiliki leading 1 (elemen pertama yang bukan nol dalam baris) dan setiap leading 1 berada di kolom yang lebih kanan daripada leading 1 di baris di atasnya. Dalam bentuk tereduksi baris, kita dapat dengan mudah membaca solusi SPLTV.

Kembali ke SPLTV kita, setelah melakukan operasi baris pada matriks augmented, kita dapat mengubahnya menjadi bentuk eselon baris sebagai berikut:

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 11\\ 0 & 5 & -5 & | & 5\\ 0 & 0 & 1 & | & 2\end{bmatrix}$

Selanjutnya, kita mengubah bentuk eselon baris menjadi bentuk tereduksi baris:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 3\\ 0 & 1 & 0 & | & 2\\ 0 & 0 & 1 & | & 2\end{bmatrix}$

Dalam bentuk tereduksi baris ini, kita dapat melihat bahwa solusi SPLTV adalah $x = 3, y = 2, z = 2$. Ini berarti bahwa ketiga persamaan dalam SPLTV kita terpenuhi ketika kita menggantikan nilai variabel ini ke dalam persamaan.

Dalam artikel ini, kita telah membahas bagaimana memahami dan menyelesaikan SPLTV dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. SPLTV adalah topik yang penting dalam matematika dan pemahaman yang baik tentang SPLTV dapat membantu kita dalam memecahkan masalah nyata.