Menganalisis Batas Fungsi \( \lim _{x \rightarrow 9} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9} \)

Dalam matematika, batas fungsi adalah konsep yang penting dalam mempelajari perilaku fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 9} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9} \) dan mencoba untuk memahami apa yang terjadi saat \( x \) mendekati 9. Pertama-tama, mari kita evaluasi fungsi ini secara langsung saat \( x \) mendekati 9. Jika kita mencoba menggantikan \( x \) dengan 9, kita akan mendapatkan bentuk yang tidak terdefinisi, yaitu \( \frac{0}{0} \). Namun, kita dapat menggunakan teknik manipulasi aljabar untuk menyederhanakan fungsi ini. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan rumus perbedaan kuadrat untuk menyederhanakan fungsi menjadi \( \lim _{x \rightarrow 9} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9} = \lim _{x \rightarrow 9} \frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}{(x-9)(\sqrt{x}+3)} \). Dengan melakukan penyederhanaan lebih lanjut, kita dapat mencancel faktor \( \sqrt{x}+3 \) dan mendapatkan \( \lim _{x \rightarrow 9} \frac{\sqrt{x}+3}{x-9} \). Sekarang, kita dapat mencoba menggantikan \( x \) dengan 9 lagi. Kali ini, kita mendapatkan bentuk yang terdefinisi, yaitu \( \frac{\sqrt{9}+3}{9-9} = \frac{6}{0} \). Namun, kita tidak dapat membagi dengan nol, sehingga batas fungsi ini tidak terdefinisi. Dalam kesimpulan, batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 9} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9} \) tidak terdefinisi. Hal ini menunjukkan bahwa fungsi ini memiliki perilaku yang tidak stabil saat \( x \) mendekati 9.