Mencari Nilai f' dari f^(-1)(1) pada Fungsi f(x) = (2x)/(x-1)

Dalam matematika, fungsi invers adalah fungsi yang membalikkan operasi fungsi asli. Dalam artikel ini, kita akan mencari nilai dari turunan fungsi invers pada suatu titik tertentu. Khususnya, kita akan mencari nilai f' dari f^(-1)(1) pada fungsi f(x) = (2x)/(x-1). Sebelum kita melangkah lebih jauh, mari kita tinjau terlebih dahulu fungsi f(x) = (2x)/(x-1). Fungsi ini memiliki pembatasan bahwa x tidak boleh sama dengan 1, karena akan menghasilkan pembagian dengan nol. Selain itu, fungsi ini adalah fungsi rasional dengan polinomial pada pembilang dan penyebut. Untuk mencari nilai f' dari f^(-1)(1), kita perlu menemukan terlebih dahulu fungsi invers dari f(x). Untuk melakukan ini, kita dapat menukar x dan y dalam persamaan f(x) = (2x)/(x-1) dan mencari y sebagai fungsi dari x. Setelah itu, kita dapat mencari turunan dari fungsi invers tersebut. Langkah pertama adalah menukar x dan y dalam persamaan f(x) = (2x)/(x-1): x = (2y)/(y-1) Selanjutnya, kita akan mencari y sebagai fungsi dari x: xy - x = 2y xy - 2y = x y(x-2) = x y = x/(x-2) Sekarang kita telah menemukan fungsi invers dari f(x), yaitu f^(-1)(x) = x/(x-2). Selanjutnya, kita akan mencari turunan dari fungsi invers ini. Untuk mencari turunan dari f^(-1)(x), kita dapat menggunakan aturan rantai. Aturan rantai menyatakan bahwa jika kita memiliki fungsi g(x) = f^(-1)(x), maka turunan dari g(x) adalah 1/f'(f^(-1)(x)). Dalam hal ini, f^(-1)(x) = x/(x-2), sehingga kita perlu mencari f'(x) terlebih dahulu. Untuk mencari f'(x), kita dapat menggunakan aturan turunan untuk fungsi rasional. Aturan turunan untuk fungsi rasional menyatakan bahwa jika kita memiliki fungsi h(x) = p(x)/q(x), di mana p(x) dan q(x) adalah polinomial, maka turunan dari h(x) adalah (p'(x)q(x) - p(x)q'(x))/(q(x))^2. Dalam kasus ini, p(x) = 2x dan q(x) = x-1. Dengan menggunakan aturan turunan untuk fungsi rasional, kita dapat mencari f'(x): f'(x) = ((2)(x-1) - (2x)(1))/((x-1)^2) f'(x) = (2x - 2 - 2x)/(x^2 - 2x + 1) f'(x) = -2/(x^2 - 2x + 1) Sekarang kita telah menemukan f'(x), kita dapat menggunakan aturan rantai untuk mencari turunan dari f^(-1)(x) = x/(x-2): f'(f^(-1)(x)) = 1/f'(x) f'(f^(-1)(x)) = 1/(-2/(x^2 - 2x + 1)) f'(f^(-1)(x)) = -(x^2 - 2x + 1)/2 Sekarang kita telah menemukan turunan dari f^(-1)(x), kita dapat mencari nilai f' dari f^(-1)(1) dengan mengganti x dengan 1: f'(f^(-1)(1)) = -(1^2 - 2(1) + 1)/2 f'(f^(-1)(1)) = -1/2 Jadi, nilai f' dari f^(-1)(1) pada fungsi f(x) = (2x)/(x-1) adalah -1/2.