Metode Eliminasi Variabel dalam Sistem Persamaan Linear

Metode eliminasi variabel adalah salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Dalam artikel ini, kita akan membahas tiga kasus eliminasi variabel yang berbeda. a.) Eliminasi variabel \( x \) dari \( i \) dan \( ii \) Pertama, kita memiliki sistem persamaan linear berikut: \[ \begin{align*} 5x - 3y + 2z &= 3 \quad \text{(i)} \\ 8x - 24y + 16z &= 24 \quad \text{(ii)} \\ \end{align*} \] Untuk mengeliminasi variabel \( x \) dari persamaan \( ii \), kita dapat mengalikan persamaan \( i \) dengan 8 dan persamaan \( ii \) dengan 5: \[ \begin{align*} 40x - 24y + 16z &= 24 \quad \text{(iii)} \\ 40x - 120y + 80z &= 120 \quad \text{(iv)} \\ \end{align*} \] Selanjutnya, kita dapat mengurangi persamaan \( iv \) dari persamaan \( iii \) untuk menghilangkan variabel \( x \): \[ \begin{align*} -96y + 64z &= -96 \\ \end{align*} \] b.) Eliminasi variabel \( x \) dari \( ii \) dan \( iii \) Selanjutnya, kita akan mengeliminasi variabel \( x \) dari persamaan \( ii \) dan \( iii \): \[ \begin{align*} 8x - 5y + 6z &= 7 \quad \text{(v)} \\ 24x - 15y + 18z &= 21 \quad \text{(vi)} \\ \end{align*} \] Untuk menghilangkan variabel \( x \), kita dapat mengalikan persamaan \( v \) dengan 3 dan persamaan \( vi \) dengan 8: \[ \begin{align*} 24x - 15y + 18z &= 21 \quad \text{(vii)} \\ 24x - 120y + 144z &= 168 \quad \text{(viii)} \\ \end{align*} \] Kemudian, kita dapat mengurangi persamaan \( viii \) dari persamaan \( vii \) untuk mengeliminasi variabel \( x \): \[ \begin{align*} -105y + 126z &= -147 \\ \end{align*} \] c.) Eliminasi variabel \( y \) dari \( iv \) dan \( viii \) Terakhir, kita akan mengeliminasi variabel \( y \) dari persamaan \( iv \) dan \( viii \): \[ \begin{align*} -96y + 64z &= -96 \quad \text{(ix)} \\ -105y + 126z &= -147 \quad \text{(x)} \\ \end{align*} \] Untuk menghilangkan variabel \( y \), kita dapat mengalikan persamaan \( ix \) dengan 105 dan persamaan \( x \) dengan 96: \[ \begin{align*} -10080y + 6720z &= -10080 \quad \text{(xi)} \\ -10080y + 12096z &= -14112 \quad \text{(xii)} \\ \end{align*} \] Selanjutnya, kita dapat mengurangi persamaan \( xi \) dari persamaan \( xii \) untuk mengeliminasi variabel \( y \): \[ \begin{align*} -5376z &= -4032 \\ \end{align*} \] Dalam artikel ini, kita telah membahas tiga kasus eliminasi variabel dalam sistem persamaan linear. Metode ini sangat berguna dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dengan lebih efisien.