Menjelajahi Konsep Matematika: Dari Bilangan Asli hingga Matriks ####

1. Tentukan Jumlah 200 Bilangan Asli Pertama Bilangan asli pertama adalah 1, dan bilangan asli kedua adalah 2, dan seterusnya. Untuk menemukan jumlah 200 bilangan asli pertama, kita dapat menggunakan rumus: \[ S_n = \frac{n(n+1)}{2} \] Di mana \( n \) adalah jumlah bilangan asli. Jadi, untuk 200 bilangan asli pertama: \[ S_{200} = \frac{200(200+1)}{2} = \frac{200 \times 201}{2} = 20100 \] 2. Langkah Pertama Pembuktian Suatu Deret dengan Induksi Matematika untuk n Bilangan Asli Langkah pertama dalam pembuktian dengan induksi matematika adalah menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk \( n = 1 \). Misalnya, jika kita ingin membuktikan bahwa \( 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} \), kita mulai dengan membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk \( 1 \): \[ 1 = \frac{1(1+1)}{2} = 1 \] Jadi, pernyataan tersebut benar untuk \( n = 1 \). 3. Pertidaksamaan yang Memenuhi Grafik Di Atas Tanpa melihat grafik, kita tidak bisa menentukan pertidaksamaan yang tepat. Namun, jika grafik menunjukkan daerah yang diarsir di atas garis tertentu, pertidaksamaan tersebut biasanya berbentuk \( y \geq mx + c \), di mana \( m \) adalah kemiringan dan \( c \) adalah titik potong sumbu y. 4. Bukti Induksi Matematika untuk Nilai \( 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 \) Dengan induksi matematika, kita ingin membuktikan bahwa: \[ 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \] Untuk \( n = 1 \): \[ 1 = \frac{1(1)(2 \cdot 1 + 1)}{6} = 1 \] Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk \( n = k \), yaitu: \[ 1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \] Kemudian, kita harus membuktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk \( n = k + 1 \): \[ 1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 + (k+1)^2 ={(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} \] 5. Sistem Pertidaksamaan dari Permasalahan Teh Misalkan \( x \) adalah jumlah box teh A dan \( y \) adalah jumlah box teh B. Diketahui bahwa etalase hanya cukup untuk 30 box teh, sehingga: \[ x + y \leq 30 \] Harga total untuk membeli teh A dan teh B tidak boleh melebihi modal Rp 300.000,00: \[ 6000x + 8000leq 300000 \] Jadi, sistem pertidaksamaan yang sesuai adalah: \[ \begin{cases} x + y \leq 30 \\ 6000x + 8000y \leq 300000 \end{cases} \] 6. Nilai Maksimum dari Fungsi Objektif \( f(x, y) = 5x + 2y \) Untuk menemukan nilai maksimum dari fungsi objektif \( f(x, y) = 5x + 2y \), kita perlu menyelesaikan sistem