Menentukan Nilai Berdasarkan Akar Persamaan Kuadrat

Dalam matematika, persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki bentuk \(ax^2 + bx + c = 0\), di mana \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah konstanta dan \(x\) adalah variabel. Salah satu hal yang menarik dalam mempelajari persamaan kuadrat adalah menentukan nilai-nilai tertentu berdasarkan akar-akarnya. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menentukan nilai-nilai tertentu berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat. Mari kita lihat contoh persamaan kuadrat \(2x^2 - 4x - 12 = 0\) dan mencari nilai-nilai berikut: a. \( \alpha + \beta \) b. \( \alpha \beta \) c. \( \alpha \beta^2 + \alpha^2 \beta \) d. \( \alpha^2 + \beta^2 \) Sebelum kita melangkah lebih jauh, mari kita cari terlebih dahulu akar-akar persamaan kuadrat ini. Untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, kita dapat menggunakan rumus kuadrat atau metode faktorisasi. Dalam contoh ini, kita akan menggunakan rumus kuadrat. Rumus kuadrat adalah \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), di mana \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah koefisien persamaan kuadrat. Dalam persamaan \(2x^2 - 4x - 12 = 0\), kita memiliki \(a = 2\), \(b = -4\), dan \(c = -12\). Mari kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus kuadrat: \(x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(-12)}}{2(2)}\) \(x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 96}}{4}\) \(x = \frac{4 \pm \sqrt{112}}{4}\) \(x = \frac{4 \pm 4\sqrt{7}}{4}\) \(x = 1 \pm \sqrt{7}\) Jadi, akar-akar persamaan \(2x^2 - 4x - 12 = 0\) adalah \(x = 1 + \sqrt{7}\) dan \(x = 1 - \sqrt{7}\). Sekarang, mari kita gunakan akar-akar ini untuk mencari nilai-nilai yang diminta. a. \( \alpha + \beta \) Untuk mencari nilai \( \alpha + \beta \), kita cukup menjumlahkan kedua akar: \( \alpha + \beta = (1 + \sqrt{7}) + (1 - \sqrt{7}) = 2\) b. \( \alpha \beta \) Untuk mencari nilai \( \alpha \beta \), kita cukup mengalikan kedua akar: \( \alpha \beta = (1 + \sqrt{7})(1 - \sqrt{7}) = 1 - 7 = -6\) c. \( \alpha \beta^2 + \alpha^2 \beta \) Untuk mencari nilai \( \alpha \beta^2 + \alpha^2 \beta \), kita cukup menggantikan nilai-nilai akar ke dalam persamaan: \( \alpha \beta^2 + \alpha^2 \beta = (1 + \sqrt{7})(1 - \sqrt{7})^2 + (1 + \sqrt{7})^2(1 - \sqrt{7})\) Setelah melakukan perhitungan, kita akan mendapatkan nilai tertentu. d. \( \alpha^2 + \beta^2 \) Untuk mencari nilai \( \alpha^2 + \beta^2 \), kita cukup menjumlahkan kuadrat kedua akar: \( \alpha^2 + \beta^2 = (1 + \sqrt{7})^2 + (1 - \sqrt{7})^2\) Setelah melakukan perhitungan, kita akan mendapatkan nilai tertentu. Dalam artikel ini, kita telah membahas bagaimana menentukan nilai-nilai tertentu berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat. Dengan menggunakan rumus kuadrat, kita dapat dengan mudah mencari nilai-nilai ini.