Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Dua Variabel

Dalam matematika, sistem persamaan dua variabel adalah kumpulan persamaan yang mengandung dua variabel yang harus diselesaikan secara bersamaan. Ada beberapa metode yang sering digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan dua variabel, seperti distribusi, substitusi, dan eliminasi. Namun, metode eliminasi-substitusi tidak termasuk dalam metode yang sering digunakan. Metode distribusi melibatkan mengalikan salah satu persamaan dengan suatu konstanta sehingga koefisien variabel yang sama memiliki nilai yang berbeda. Kemudian, persamaan-persamaan tersebut dapat dijumlahkan atau dikurangkan untuk menghilangkan salah satu variabel. Metode substitusi melibatkan menggantikan salah satu variabel dalam satu persamaan dengan ekspresi yang mengandung variabel lainnya. Dengan cara ini, kita dapat menyelesaikan persamaan satu per satu untuk mendapatkan nilai variabel yang tidak diketahui. Metode eliminasi melibatkan mengeliminasi salah satu variabel dengan mengalikan salah satu persamaan dengan suatu konstanta sehingga koefisien variabel yang sama memiliki nilai yang berbeda. Kemudian, persamaan-persamaan tersebut dapat dijumlahkan atau dikurangkan untuk menghilangkan salah satu variabel. Untuk mengilustrasikan metode-metode ini, mari kita lihat contoh soal. Misalkan umur Sani adalah \( x \) tahun dan umur Ari adalah \( y \) tahun. Diketahui bahwa umur Sani 7 tahun lebih tua dari umur Ari, dan jumlah umur mereka adalah 43 tahun. Kita dapat menulis persamaan berikut: \( x = y + 7 \) (1) \( x + y = 43 \) (2) Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, kita dapat menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Mari kita gunakan metode substitusi. Dari persamaan (1), kita dapat menggantikan \( x \) dalam persamaan (2) dengan \( y + 7 \): \( (y + 7) + y = 43 \) Kemudian, kita dapat menyederhanakan persamaan ini: \( 2y + 7 = 43 \) \( 2y = 36 \) \( y = 18 \) Setelah mengetahui nilai \( y \), kita dapat menggantikan \( y \) dalam persamaan (1) untuk mencari nilai \( x \): \( x = 18 + 7 \) \( x = 25 \) Jadi, umur Sani adalah 25 tahun dan umur Ari adalah 18 tahun. Selanjutnya, mari kita lihat contoh soal lainnya. Diberikan sistem persamaan: \( 3x - 2y = 12 \) (3) \( 5x + y = 7 \) (4) Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, kita dapat menggunakan metode eliminasi. Mari kita gunakan metode ini. Kita dapat mengalikan persamaan (4) dengan 2 sehingga koefisien variabel \( y \) pada kedua persamaan memiliki nilai yang berbeda: \( 10x + 2y = 14 \) (5) Kemudian, kita dapat mengurangkan persamaan (5) dari persamaan (3) untuk menghilangkan variabel \( y \): \( (3x - 2y) - (10x + 2y) = 12 - 14 \) \( -7x = -2 \) \( x = \frac{-2}{-7} \) \( x = \frac{2}{7} \) Setelah mengetahui nilai \( x \), kita dapat menggantikan \( x \) dalam persamaan (4) untuk mencari nilai \( y \): \( 5(\frac{2}{7}) + y = 7 \) \( \frac{10}{7} + y = 7 \) \( y = 7 - \frac{10}{7} \) \( y = \frac{49}{7} - \frac{10}{7} \) \( y = \frac{39}{7} \) Jadi, nilai dari \( 4x + 3y \) adalah: \( 4(\frac{2}{7}) + 3(\frac{39}{7}) \) \( \frac{8}{7} + \frac{117}{7} \) \( \frac{125}{7} \) Dengan demikian, nilai dari \( 4x + 3y \) adalah \( \frac{125}{7} \). Dalam penyelesaian sistem persamaan dua variabel, metode distribusi, substitusi, dan eliminasi adalah metode yang sering digunakan. Dengan pemahaman yang baik tentang metode-metode ini, kita dapat dengan mudah menyelesaikan sistem persamaan dua variabel dan mendapatkan nilai variabel yang tidak diketahui.